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江苏省海安高级中学、宿迁中学2025届高三下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若是实数，则实数（????）
A． B． C．1 D．2
3．随机变量．若，则（????）
A． B． C． D．
4．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（????）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（???）
A． B． C． D．2
6．在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（????）
A． B． C． D．
7．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为是侧面上的动点（含端点），且满足，则点的轨迹长度为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为，已知，则（????）
A． B．满足条件的有两个
C．的最大值为6 D．的取值范围为
10．下列可能是函数（其中）的图象的是（????）
A．?? B．?? C．?? D．??
11．已知拋物线与围成的封闭曲线，如图所示，设的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，则下列结论正确的是（????）
A．若的焦点重合，则
B．若，则与的准线之间的距离为5
C．设的焦点为上一点的纵坐标，则的最小值为
D．若分别作曲线段的切线，则存在，使得四条切线能围成矩形
三、填空题
12．若，则二项式展开式中常数项为．（结果用数字作答）
13．已知函数，若存在，使得，则的最大值为．
14．已知函数，若满足以下两个条件：①当时，；②，均有，则称为“优质函数”.若函数是“优质函数”，则函数在上的单调性情况是（填“递增”，“递减”或“无单调性”）；实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
16．在多面体中（如图），底面为梯形，为的中点，，，四边形为矩形，平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥外接球的体积；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
17．为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）：
发病
没发病
合计
使用药物
10
30
40
没使用药物
25
15
40
合计
35
45
80
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
18．已知双曲线经过点，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且．
（ⅰ）求面积的最小值；
（ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
19．已知函数．
(1)求函数的在处的切线方程；
(2)求证：当时，；
(3)求证：．
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《江苏省海安高级中学、宿迁中学2025届高三下学期4月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
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