高级中学名校试卷
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上海市静安区2025届高三下学期期中教学质量调研
（高考二模）数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1.已知全集为，集合，则______．
【答案】或
【解析】因集合，
所以或.
故答案为：或.
2.不等式的解集为_____________．
【答案】.
【解析】由得：，解得：，
不等式的解集为.
故答案为：.
3.椭圆的离心率是______．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.
4.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
【答案】
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为．
5.已知，则______．（请用含的代数式表达）
【答案】
【解析】由题意得，.
故答案为：.
6.已知，则sin2x的值为________.
【答案】
【解析】
〖祥解〗∵，，
则sin2x＝，
故答案为：.
7.设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______．
【答案】
【解析】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球，
所以.
故答案为：.
8.设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为______．
【答案】
【解析】由题意可知，解得，
，所以，所以，
所以，
又当时，函数取得最大值，
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：.
9.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m．
【答案】
【解析】设底面短边长为，
则长边长为，高为，
则，解得，
则容器的容积，，
则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以要使该容器的容积最大，则容器的高为.
故答案为：.
10.已知，且，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】因为，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
11.从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
即，整理得，
因为，所以，即，
所以，又因为都是正整数，
所以，
当时，此时，
所以（舍去），
当时，此时，
所以，
综上所述，，
所以.
故答案为：.
12.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意可得两点关于折线对称，连结，
设，
则，，．
中，．
在中，，
由正弦定理知：，即，
所以．
因为，即，
当，即时，，
此时取得最小值，且．
所以的最小值为．
故答案为：.
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13.“”是“一元二次不等式的解集为R”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题根据一元二次不等式的解集为R，
可得，
所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件.
故选：B.
14.若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（）
A.且 B.且 C.且 D.且
【答案】D
【解析】，
因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，
所以，解得.
故选：D.
15.设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（）.
A.与 B.与 C.与 D.与
【答案】C
【解析】易知，有三个零点
因为为二次函数，所以，它有两个零点
由图像易知，当时，；
当时，，故是极小值
类似地可知，是极大值.
故答案为C
16.设函数的定义域为，若，且对任意