高级中学名校试卷
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江西省部分高中（上进联考）2025届高三下学期4月
联考检测（二模）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（）
A. B. C.3 D.5
【答案】B
【解析】因为，所以
所以
故选：B.
2.已知若直线AB经过点C，则t=（）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】A
【解析】因为直线经过点，所以，所以，解得.
故选：A
3.已知集合则（）
A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
【答案】C
【解析】因为且，所以或或或，解得或或或，所以，
由，得所以，所以.
故选：C.
4.若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据函数?在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
5.“椭圆的焦点在y轴”的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若椭圆的焦点在y轴，则，解得.
对于A，由能推出，反之不成立，符合题意；
对于B，由不能推出，不符合题意；
对于C，显然为充要条件，不符合题意；
对于D，由不能推出，不符合题意；
故选：A
6.定义上进函数，其函数值为n的正约数的个数，例如，.若，已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，则必是的一个约数，若有其它约数必会成对出现，则为正奇数，
所以.
故选：B
7.在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
取线段的中点，连接、，则，
故为球的直径，故球的半径，
所以球的体积为.
故选：C
8.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令f(x)=0，得即
令则(1-e)t-1=0，
令则
令在区间(ln(e-1)，+∞)上单调递增；
令在区间上单调递减，又1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.
令p(x)=lnx+ax，则则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则y=ax+lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.
当a0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.
如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax与y=lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为则综上
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：mm)，并将所得果径数据分成以下几组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（）
A.a的值为0.030
B.这100个脐橙果径的平均数为75
C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80
D.这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为40
【答案】ACD
【解析】由，得，故A正确；
由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，
故这100个脐橙果径的平均数，
故B错误；
前三组的频率和为，因此这100个脐橙果径的第60百分位数为80，故C正确；
果径不小于80mm的频率为，
故这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为，故D正确.
故选：ACD.
10.在平面直角坐标系中，曲线C由函数和的图象构成，则（）
A.C关于直线对称
B.C关于点对称
C.直线被C截得的线段长的最大值为
D.C围成的图形的面积大于
【答案】AC
【解析】画出C的图象，由图可知A正确，B错误；
直线被C截的弦长为故C正确；
当时，如图，4个阴影部分面积相等