高级中学名校试卷
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湖南省娄底市涟源市2025届高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式，得，则，
所以，所以．
故选：B．
2.已知命题，，则命题的否定为（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】C
【解析】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，．
故选：C．
3.已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，所以只需要
解得．
故选：D．
4.设，则“”是“复数为实数”的（）
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若复数为实数，则，即．
又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件．
故选：C．
5.已知双曲线经过点，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵双曲线经过点，
∴．解得，
又∵，则．
∴双曲线的离心率．
故选：C．
6.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（）
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】设与的交点为，，，则，，．
由是直角，得，即，得．①
又由上、下旋转面的面积比是，得，即，所以．②
①②两式联立，整理得，解得（舍负值），可得，则．
故选:A．
7.已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D
【解析】函数，，其图象的对称中心为点，
代入直线方程得．
则，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9．
故选：D
8.已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，作出函数的大致图象，如图．
令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根；
当时，关于的方程无实数根；
当或时，关于的方程只有1个实数根．
因为关于的方程有3个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在内，
另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内．
当为方程的根时，，且方程的另一根为．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
当为方程的根时，有，则或．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．
令，
则Δ0,h(0)0,h10,即
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；
对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；
对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；
对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数图象，故D正确．
故选：ABD
10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）
A.若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D.若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
【答案】BC
【解析】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
所以公寓采光效果不变，故B正确；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，