高级中学名校试卷
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湖北省黄冈市2025届八模高三模拟测试（八）数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为对数函数是上的增函数，
所以由，得，则；
因为指数函数是上的减函数，
所以由，得，则，
由此，.
故选：B.
2.已知，则（）
A. B.5 C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：A．
3.已知函数的导数为，且，则（）
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
4.已知数列是等差数列，且，则（）
A.0 B. C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列公式得：，
所以，
所以.
故选：A.
5.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（）
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知.
又，解得.所以，
所以的离心率为.
故选：D.
6.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成．已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台．若圆锥容器的高为，则此圆台的高为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法1：由题可得，根据相似比，细沙的体积占圆锥容器体积的，即细沙堆成的圆台的体积占圆锥容器体积的，
所以圆台上方的空白小圆锥体积占圆锥容器体积的，
因此圆台上方的空白小圆锥的高为，
则圆台的高为．
方法2：设圆锥的底面半径为，圆台的上底面半径为，圆台的高为，如图所示，
由相似比可得，，即．
所以，
所以，整理得，即，
所以.
故选：D.
7.已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】数列中，，当时，，即，
当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此，，依题意，对任意正整数n恒成立，
令，由，得，即数列单调递减，
则，于是，所以实数的取值范围是.
故选：D
8.已知函数定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】由，得，
因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，.
又，所以，
即，所以，所以8是的一个周期，
所以，
由，得.
由，得，
又，所以，
所以，即，所以，
所以8也是的一个周期，
所以，得，
所以，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，
B.一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
C.若随机变量，则
D.若随机变量，且，则
【答案】AD
【解析】
对于A选项，数据的极差为6，则数据的极差为，
数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确；
对于B选项，由题意可知，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变，
而原来的数据的方差为，
同理可算得新数据的方差为，所以方差会变小，故B错误；
对于C选项，若随机变量，则，故C错误；
对于D选项，若随机变量，且，
则，故D正确.
故选：AD.
10.设函数，，则下列结论正确的是（）
A.，在上单调递减
B.若且，则
C.若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】，
对于A，，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，
是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
11.如图是底面半径为1，高为2圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（）
A.平面
B.存在点P，使得
C.当与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球的体积为
D.若M为的中点，则三棱锥的体积的最大值为
【答案】ABC
【解析】A.由正六边形的性质得，，
∵平面，平面，∴平面，选项A正确.
B.当平面时，由平面得，
故存在点P，使得，选项B正确.
C.由为圆直径得