第五章帕斯卡定理与布利安桑定理
如果说高中数学就是十七世纪为主导的数学，那么射影几何学就不能不提到从笛沙格定理（1639年）
到帕斯卡定理（1640年），这对师徒拯救了一门学科，在1810年以前，一切还是以对合作为射影几何学的
核心，1810年以后，塞瓦的自极三角形体系才逐渐开始有了极点极线的说法和体系。
第一节从笛沙格定理到帕斯卡定理
综合射影几何的理论，创立至今不到200年的历史。当然，在此以前很早就已发现了其
中的许多定理和原理，但是，一大堆砖瓦不能称为一座大厦，孤立的许多定理也不等于一门理
Euclid
论。建筑综合射影大厦的砖瓦是由欧几里得（）以来的无数学者们所贡献的。四调和点
的概念古代人已经熟悉了，他们从度量观点出发，把它看作使线段内分与外分比值相等的一个
Pappus
比值。由一截线对一完全四边形各边截取的对合六点问题曾由帕普斯（）详细研究过。
但这些孤立的概念未被用作一般理论的基础。它们独立起来看，不过是一些小结论。正是与其
他大量定理的联系才显示出了它们的重要性。
十七世纪是人类历史上一个非常美妙的世纪.在它早期,诞生了诸如伽利略(Galileo)、
开普勒(Kepler)、布拉赫(Brahe)、笛卡尔(Descartes)、笛沙格(Desargues)、帕斯卡(Pascal)、
卡瓦列利(Cavalieri)、沃利斯(Wallis)、费马(Fermat)、惠更斯(Huygens)、巴康(Bacon)、
纳皮哀尔(Napier)等一大批数学明星，还有不少发光较少的小星，更不用说伦布兰特
(Rembrandt)或莎士比亚(Shakespeare)了。他们开始对从古人堆里挖掘出来的大量材料提出各
种所谓的统一性原理(Unifyingprinciples)。如1604年伟大天文学家Kepler提出把平行
直线看成无穷远处相交的概念，并由此使抛物线成为椭圆和双曲线的极限情形。他还提出抛物
线也有焦点，即所谓“盲焦”(caecusfocus)，一个位于轴的无穷远处的焦点。
1639年，法国数学家笛沙格（Desargues）发布了一篇有关二阶曲线的小论文，其中出现
了我们在它基础上建立了四调和点理论的定理。但笛沙格没有用他的定理为这一目的服务。
他把四调和点看作对合六点中有两个为重点的特例。他的对合理论的论证过程也与我们采用
的纯几何方法不同。他在证明点的对合投影性质时，同样利用了“当六线通过对合六点时，所有与
它们相截的直线也一定截出互为对合的六个点”这一性质。
笛沙格是射影几何的创立者，但他是利昂的一位建筑师。因对几何的兴趣以及职业的需
要而创立了这门学科。在工作中他也有创造发明，包括如何切割石块用于建筑，如何设计和制
作螺旋形楼梯等。
在笛沙格的这篇短文中也包含极点和极线的理论，但极线被称作traversal(穿越线)。
他也指出了极点极线的调和性质，但当平面引入无穷远元素后，笛沙格似乎没有得到对应的度
量属性。因而他说，“当traversal在无穷远时，就全部难以想象了”。至于极点(pole)这
一术语，则由法国数学家塞瓦（Servois）于1810年首先使用，而对应术语极线(polar)则
热尔岗（
由当时担任塞瓦论文的刊物编辑Gergonne）创立。
在这本小书中，我们发现了有关二阶曲线内接四边形的漂亮定理他所陈述的定理的原始
表达形式为：已知一个四边形内接于圆锥截线，则每一条与圆锥曲线以及四边形四边相截的
traversal截出的六个点为对合六点。
说来也是很怪，笛沙格的不朽著作竟招来最猛烈的辱骂和嘲笑!“难以置信的错误!”，
“完全是虚构和造假!”，“任何真正熟悉科学的人都不能实际接受他的思想！真可笑!”，
这就是许多读者和评论家的评论，而且他们中间也并非全都是一无所知和没有教化的人。无论
笛沙格的学生如何热心支持，也不管受到诸如笛卡尔，费马，梅森（Mersenne）等著名人
物的倾慕和声援，他的小册子在出版二个世纪之后终于完全消失