2020—2021学年第二学期高一年段期中五校联考
数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求.）
1.若复数z满足（i是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到，求出的坐标得答案．
【详解】解：由，得，所以，
复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
2.设全集，若集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合，结合图象求得正确结论.
【详解】由得，所以，
，
图象阴影部分表示，
即.
故选：D
3.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，即可得到结果．
【详解】解：△是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：D．
4.下列函数是偶函数且在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来.
【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；是偶函数，当时，在上是增函数；在上是减函数.只有选项C满足条件.
故选：C
5.设向量满足，且，则的最小值为（）
A. B.2 C.4 D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为且，所以，即，因为、，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：B
6.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东则船实际航行的速度为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造矢量图来解.
【详解】由题意画出矢量图如下：
为船速及航行方向，，为水速及方向，为实际航行速度及方向，
由此.
故选：C.
【点睛】考查向量的运算和向量的实际应用.难度较易.
7.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列式求得圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式求解．
【详解】解：由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，
圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，
圆锥的底面周长为，
故圆锥的底面半径为，母线为，所以圆锥的高为．
圆锥的体积．
从而所求几何体的体积为．
故选：A．
8.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，，与的夹角为45°.若，则（）
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，如图建系，求得各点坐标，根据，可得关于m，n的方程组，即可求得答案.
【详解】分别以OA、OC为x，y轴正方向建系，如图所示
则，
又，
所以，即，
解得，
所以.
故选：D
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9.下列命题是真命题的有（）
A.
B.命题“”的否定为“”
C.“”是“”成立的充分不必要条件
D.若幂函数经过点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项利用对数的四则运算即可求出；B项根据全称命题的否定直接判断；C项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.
【详解】对A：，故A正确；
对B：命题“”的否定为“”，故B错误；
对C：，但是，例如：，但，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确；
对D：因为幂函数经过点，所以，即，所以
，故D错误.
故选：AC.
10.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，