5.2.1三角函数的概念（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)
深圳高级中学何永丽
一、教学目标
借助单位圆理解任意角三角函数的定义.
二、教学重难点
1.重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.
2.难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数.
三、教学过程
1.任意角三角函数概念的形成
1.1创设问题情景，引发认知冲突
【问题情境】通过复习锐角三角函数定义，明确了锐角的三角函数是在直角三角形中定义的。但现在角已经扩充为了任意角，锐角三角函数的定义已无法定义任意角的三角函数.
【设计意图】通过问题情景，引发学生的认知冲突，激起学生探寻任意角三角函数定义的兴趣.
1.2创设问题串，引导学生类比出三角函数的概念
研究任意角一般是在平面直角坐标系中研究。当锐角α确定，α的终边也就确定了，进而α的终边与单位圆的交点P(x,y)也就确定了.
问题1：锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？
【预设的答案】可以；sinα=y,cosα=x,tanα=yx
【设计意图】通过这个问题，让学生建立起锐角三角函数与锐角终边与单位圆交点的坐标的联系，突破学生对锐角三角函数定义的局限，为类比出任意角三角函数定义做铺垫.
问题2：类比锐角α的三角函数值与P点的坐标的关系，可以定义任意角的三角函数吗？
【预设的答案】可以；任意角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，那么sinα=y,cosα=x,tanα=y
【设计意图】
1.3概念形成
教师总结：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值yx
yx
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
问题：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？
【设计意图】加深学生对任意角三角函数的理解.
练习：求的正弦、余弦和正切值.
【预设的答案】sineq\f(5π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，coseq\f(5π,3)＝eq\f(1,2)，taneq\f(5π,3)＝－eq\r(3)
【设计意图】巩固任意角三角函数的概念.
1.4概念深入
任意角α的三角函数可以用α的终边与单位圆相交于点P(x,y)的坐标表示.但角α的终边不仅可以由P点坐标唯一确定，也可以由终边上其他点的坐标唯一确定，所以角α的三角函数也可以用终边上其他点的坐标表示.
【设计意图】先让学生独立思考后再小组讨论，最后通过教师的引导，让学生自己探寻出结果，这样可以突破将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示这个难点.
2.初步应用，理解概念
例1.（1）角α的终边经过点P(－3，－4)求角α的正弦、余弦和正切值．
（2）若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y0，cosα＝35，求tanα的值
【预设的答案】sinα＝－eq\f(4,5)；cos＝－eq\f(3,5)；tanα＝eq\f(4,3)；tanα＝eq\f(4,3)
【设计意图】熟悉将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示.
例2.已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【预设的答案】(1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)a
所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5).
(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝－eq\r(5)a(a0)，
所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,－\r(5)a)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,－\r(5)a)＝－eq\f(\r(5),5).
练习：1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cosθ＝－eq\f(3,5)，若点M(x,8)是角θ终边上一点，求x的值.
2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达点Q，求点Q的坐标.
【预设的答案】1.由任意角的三角函数的定义可得，
cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋64))＝－eq\f(3,5)，解得x＝－6.
2.点P运动的弧