中考大题06圆中的证明与计算题
中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常
选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个
别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合
考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一
般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.
题型一：圆中的角度和线段计算问题
⊙,,⊥
1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于
点,
，交线段于点（不与点重合），连接．
(1)若=1，求的长．
(2)求证：2=?．
(3)若=，猜想∠的度数，并证明你的结论．
⊙=⊙⊥
2．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交
=2
于点，若．
(1)如图1，连接，求证：△≌△；
(2)如图2，∠=60°
是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段，，有
怎样的数量关系？并证明你的结论．
圆的基础定理:垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的
特征，综合应用起来解决相关问题.
垂径定理模型（知二得三）
如图，可得①AB过圆心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD
C
AOEB
D
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的
弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其
中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【利用圆周角定理解题思路】
1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以
利用圆周角定理进行角的转化.
2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧
的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，过⊙外一点P作⊙的两条切线，切点分别为A，B，过点B作
∥⊙
交于点C，连接，．
(1)求证：=；
(2)若=6=4⊙
，，求的半径．
2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△∠=90°
中，，以为直径的半圆交