高级中学名校试卷
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上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试
数学仿真模拟卷03
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，，，，，，若，则实数．
【答案】2
【解析】集合，，，，，，，
则，解得或，
当时，，，，，，，不符合题意，
当时，，1，，，1，，符合题意，
故．
故答案为：2．
2．若向量，，则．
【答案】
【解析】向量，，
所以，，．
故答案为：．
3．不等式的解集是．
【答案】
【解析】不等式化为，可得，所以不等式的解集为．
故答案为：．
4．圆的半径大小为．
【答案】2
【解析】圆化为标准方程为，
圆的半径为2．
5．已知，且，则．
【答案】
【解析】，且，
，，
．
6．在的展开式中，的系数为．
【答案】40
【解析】的展开式通项公式为，
令，解得，
故的系数为．
7．在中，已知，则其外接圆的直径为．
【答案】4
【解析】设外接圆半径为，由正弦定理可得：，
所以，
所以外接圆直径为4．
8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有个．
【答案】72
【解析】根据题意，要求千位和百位上的数之和为5，分2种情况讨论：
①四位数的千位和百位数字为1和4时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，
此时，可以有个符合题意的四位偶数；
①四位数的千位和百位数字为2和3时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，
此时，可以有个符合题意的四位偶数；
故共有个符合题意的四位偶数；
故答案为：72．
9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为．
【答案】
【解析】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，
当时，，
当时，在，有最大值4，
画出函数的图象，如下图，
由图可知，．
10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为．
【答案】，
【解析】如图：因为，，所以，所以向量在方向上的投影为，且，易知．
如图建立平面直角坐标系，则，，，．
因为在线段上，故设，，，
所以，，所以，，．
令，，，该函数为增函数，所以．
所以的范围为，．
故答案为：，．
11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为．
【答案】
【解析】设直线与直线相交于点，则，
直线的斜率为，即，
又，，，
过作于点，则，
为的中点，，，
在中，由，知，，
由双曲线的定义知，，
，化简得，．
可得．
12．已知函数为定义域为R的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则．
【答案】2
【解析】函数为定义域为R的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，
则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数，是定义域R上的偶函数；
对于B，函数，是非奇非偶的函数，不具有奇偶性；
对于C，函数，是定义域R上的奇函数；
对于D，函数，是定义域R上的奇函数，也是偶函数．
故选：B．
14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是
A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍
C．2016年与2019年艺体达线人数相同
D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加
【答案】D
【解析】设2016年参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为．
对于选项年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；
对于选项年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不同的，故选项C错误；
对于选项年不上线人数为，2019年不上线人数为，不达线人数有所增加，故选项正确．
故选：．
15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于，当是的中点时，与是相交直线；
对于，根据异面直线的定