高级中学名校试卷
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陕西省渭南市2025届高三教学质量检测(Ⅱ)数学试题
一?选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，.
故选：C.
2.若，则（）
A.1 B.2 C.5 D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
故选：A.
3.函数的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，其中满足，.
所以函数的最小正周期为.
故选：C.
4.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（）
A.2 B. C.4 D.
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故选：A
5.若双曲线的焦距为6，则（）
A.5或 B.3 C.5 D.
【答案】D
【解析】若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得；
若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得.
综上可得：.
故选：D.
6.已知向量，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在上的投影向量是，
故选：B.
7.函数最小值为（）
A.6 B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，，
函数在上单调递增，则；
当时，，
则，函数在上单调递增，
则.
综上所述，函数的最小值为6.
故选：A.
8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12
B.数据的第30百分位数为7
C.若随机变量，且，则
D.若随机变量，且，则
【答案】ACD
【解析】对于A，这个数的平均数为：，故A正确；
对于B，由可知：这个数据的第30百分位数为，故B错误；
对于C，因为，所以由，
因此，故C正确；
对于D，因为，
所以，
因此，故D正确；
故选：ACD
10.如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是（）
A.三棱锥的体积为
B.若为的中点，则到平面的距离为
C.的周长的最小值为
D.若，则点的轨迹的长度为
【答案】BCD
【解析】正三棱柱的所有棱长均为4，
对于A，点到平面的距离即为正边上的高，
则，A错误；
对于B，在中，，由为的中点，得，
的面积为，由选项A得三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，则，解得，B正确；
对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内，
当且仅当三点共线时，取得最小值，，
又，因此的周长的最小值为，C正确；
??
对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面，
，连接，由，得，
因此点在平面的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为，
点在平面的轨迹是半径为4的四分之一圆弧，长度为，
所以点的轨迹的长度为，D正确.
故选：BCD
11.设直线系，则下列四个命题为真的是（）
A.中所有直线均经过一个定点
B.存在定点不在中的任一条直线上
C.中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D.对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
【答案】BD
【解析】对于A，可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故A错误；
对于B，对任意，存在定点不在直线系中的任一条直线上，故B正确；
对于C，中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边三角形和，故C错误；
对于D，由于圆的外切正边形，其所有边均在直线系中的直线上，故D正确.
故选：BD.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，若，则的面积为__________.