2025年高考押题预测卷
高三数学（北京专用01）·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
B
D
C
B
D
B
A
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．12．13．.14．15．①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．【详解】（1）由正弦定理，且，
得，即．
由，得．所以． 4分
由，得，所以． 6分
（2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减，
故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.
选择条件②：由，且，得． 8分
由余弦定理，得，
解得或（舍）． 10分
设边上的高为，则三角形面积，
所以． 13分
选择条件③：由，且，得． 8分
由，且，得．
所以． 10分
由正弦定理，得，所以边上的高． 13分
17．【详解】（1）在长方体中，因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以.同理. 3分
所以是平行四边形.所以.
又，
.
所以.
所以为的中点. 6分
（2）在长方体中，建立空间直角坐标系，设，
则.
因此. 8分
设平面的法向量为，
则即
令，则，因此. 10分
易知平面的法向量为，则
.
解得.所以. 13分
18．【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次，
则每个项目完成的概率均为， 2分
设完成比赛项目个数为，则，
则，
故比赛中只完成了一个项目的概率为； 4分
（2）记比赛中得分，则的可能取值为，
完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为，
所以，
7分
所以的分布列为：
9分
（3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，
所以，， 11分
记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件，
则，
故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 14分
19．【详解】（1）因为离心率为，所以，
又椭圆定义知，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立， 3分
故，所以，
所以，
故椭圆C的方程为. 5分
（2）当直线EF的斜率为零时，则点E，F为椭圆长轴的端点，
则 7分
当直线EF不与x轴重合时，设直线EF的方程为，设点，
联立，消去x得，
恒成立，
由韦达定理得，， 10分
故
.
综上所述，为定值3. 15分
20．【详解】（1）由题知，
令，则．
当时，，此时在上为减函数，
当时，，此时在上为增函数， 2分
故，无极小值． 3分
（2）．
令，
，故在上为减函数． 5分
，即．
由（1）可知在上为增函数，，，
即． 7分
（3）由（2）同理可证，当时，．
令，得，
由题意得直线与两条曲线，共有四个交点．
如图所示，，且．
由，得． 11分
，，且在上为增函数，
，即．．同理：．
故，即，得证． 15分
21．【详解】（1），. 3分
（2）采用数学归纳法证明，
当时，，显然存在，
假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得，
当时，设是满足的最大正整数，则，
因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾），
且由归纳假设可以表示成的形式，
其中互不相邻且与也不相邻（因为，
所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和； 6分
再证明唯一性：假设，
不妨设，
设，
根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定，
从最大项开始分析，若，不妨设，则，
因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以，
去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且； 9分
（3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合，
根据－数列的递推公式，
则，，，
,，
以此类推可得， 11分
然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推，
则是以4为首项的数列构成的集合，即，
再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,，
那么是以7为首项的数列构成的集合，即， 13分
按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有，
因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列，
综上，能将正整数集拆成若干个