高级中学名校试卷
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湖北省“高中名校联盟·圆创教育”联盟2025届高三
下学期5月模拟数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B. C.D.或
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
所以.
故选：A
2.设复数z满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设（x，），则.
由复数相等，得，解得，即，
可得，所以的虚部为；
法二：由，得，所以.
所以的虚部为.
故选：B.
3.在的展开式中，含项的系数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为的展开式通项为，
所以，二项式、和展开式中含项的系数分别为、、，
所以它们的和为.
故选：A.
4.已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，
因为，所以可设，，则，，
所以.
故选：D.
5.已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，
所以，.
所以.
当时，取最小值.
故选：B
方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C.
而可以看作在上的投影向量与的数量积.
由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值.
因为，所以，
则.
所以的最小值为.
故选：B.
6.已知函数，若对，，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以为奇函数.
又，
当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增.
由，所以，所以.
对任意，由，得，所以只需即可.
令，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以.
故选：D.
7.从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回地随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为.若，则为实数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选取小球有种选法，
若为实数，则有2种情况：
①x偶数，则y为偶数，有种选法；
②x为奇数，则y为奇数，设，，
在中任取一个数，在B中任取一个数；
或者在B中任取一个数，y在A中任取一个数，共种选法.
所以为实数的概率为.
故选：A
8.已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，取长方体的下底面的各边中点,,,，上底面的中心为，下底面的中心为.
平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，
过作于，作于，则，.
所以，等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内.
在和中，，为公共边，为共同的中点，
，的大小由与，所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大.
显然与和所成的角的大小关系不确定：
当在靠近时与直线所成的角较小，与直线所成的角则接近于，此时.
同样当接近于时，故A、B错误；
与的大小关系实际上是看在的左侧还是右侧.
若在左侧，则；
若在右侧，则；
若是在上，则.
同样，在的前面，则；
在上，则；
在的后面，则，
所以当在内时，，，
，.
因为，所以.
因为，所以.
因此，
，
根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（）
A. B. C. D.2
【答案】BCD
【解析】方法一：当时，，
则的函数图象始终在函数图象上方或相切，
当时，显然不成立；
当时，设曲线与相切于点，
因的导函数为，
则，所以，则.
令，则，
则得；得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，则B、C、D选项满足.
方法二：令，则，则B、C、D选项满足.
故选：BCD.
10.已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（）
A.与有相同的零点
B.的图象有无数条对称轴
C.当时，
D.与的图象仅有一个交点
【答案】AC
【解析】由，，
则，，与的零点均为，，故A正确；
的图象仅有一条对称轴，所以B错误；
当时，，所以时，.
对，总有成立，所以时，有，
所以，.
同理，当时，，.
当时，，，所以C正确；
显然原点为一个交点.
当时，设，
则，，
所以，当时有零点.
则与图象在上也有一个交点，D错误.
故选：AC.
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