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山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。2025.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，那么集合
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位)，则
A．2 B． C．4 D．8
3．如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过
A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元
4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为
A．8 B．24 C．48 D．120
5．已知为的一个内角，且，则
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则
A．2 B． C．4 D．
7．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则
A． B． C． D．
8．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数（），则下列说法正确的是
A．若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则
B．若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是
C．若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2
D．存在ω，对，恒成立
10．已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是
A．若平面，则最小值为
B．若平面，则
C．若，则到平面的距离为
D．若，时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为__________.
13．已知等比数列的前项和为，若，，则__________.
14．定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
16．（15分）
已知数列是公差为2的等差数列，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，若，求的最大值．
17．（15分）
已知，函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)证明：函数存在两个零点；
(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
18．（17分）
把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
(1)求证：平面.
(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值.
(3)求三棱锥的体积的取值范围.
19．（17分）
近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
(1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．
月份
1
2
3
4
5
睡眠质量
显著改善人数
280
250
200
160
110
若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
(2)该社区将参加“早睡一小时”活动的