1.1集合
考向1集合的概念
题型1元素与集合关系的判断
1．集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母，，，．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母，，，．．．表示．
2．元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系．
3．集合表示方法：列举法、描述法、图象法．
4．常用集合符号
R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；或N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集．
【例1】（2023?上海）已知，，，，若，，则
A． B． C． D．，2，
【例2】（2020?新课标Ⅲ）已知集合，，，，则中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
题型2利用集合的三要素求参
1．集合中元素的性质
对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性．
2．集合的分类
集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等．
【例1】若，，，则
A． B．0 C．1 D．0或1
【例2】（多选）由，，4组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是
A． B． C．6 D．2
考向2集合的关系
题型1利用集合相等求参
1．集合与集合之间的关系
（1）包含关系：如果对任意，都有，则称集合是集合的子集，记作，显然，；
（2）相等关系：对于集合、，如果，同时，那么称集合等于集合，记作；
（3）真包含关系：对于集合、，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，记作；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
【例1】（2023?上海）已知集合，，，，且，则．
【例2】已知，，若集合，则的值为
A． B． C．1 D．2
题型2利用子集/真子集/空集关系求参
1．集合元素数量与子集、真子集和非空真子集数量之间的关系（集合含有个元素）
（1）子集的数量：
（2）真子集的数量：
（3）非空真子集的数量：
【例1】（2023?新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则
A．2 B．1 C． D．
【例2】已知，，若，则实数的取值范围
A．， B．， C．， D．，，
【例3】已知，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【例4】已知集合有8个子集，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
考向3集合的运算
题型1交集、并集、补集及其混合运算
1．集合之间的运算性质
（1）交集：，，，，，．
（2）并集：，，，，，．
（3）补集的运算性质：，，，，．
【例1】（2024?新高考Ⅰ）已知集合，，，0，2，，则
A．， B．， C．，， D．，0，
【例2】（2024?北京）已知集合，，则
A． B． C． D．
【例3】（2024?甲卷）集合，2，3，4，5，，，则
A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，
题型2韦恩图表达集合的关系及运算
1．Venn图：用平面上一条封闭的曲线（通常情况下是矩形）的内部代表集合，这个图形就叫做韦恩图．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
（1）交集：
【例1】集合，0，1，，，2，，则图中阴影部分所表示的集合为
A．，B．，0，1，2，C．，0，2， D．，1，
【例2】已知全集，2，3，4，，，，，，如图所示，则阴影部分表示的集合是
A．，4， B．，3， C．，2， D．，
拓展思维
容斥问题
两个集合的容斥原理，可以用下面的韦恩图表示：
为了计算具有性质A或性质B的元素个数，我们使用下面的公式：
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
三个集合的容斥原理，画成韦恩图如下所示：
为了计算至少具有性质A、B、C之一的元素个数，我们使用下面的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
【例1】我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用（A）表示有限集合中元素的个数．例如，，，，则（A）．容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么，．某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）
A．2 B．3 C．4 D．5
跟踪训练
【训练1】（2020?海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜