4.6指数函数与对数函数（复习课）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)
深圳外国语学校罗伟豪
一、教学目标
1.了解指数函数、指数函数的图象，理解指数函数、对数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．
2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，掌握反函数的求法.
3.理解函数与方程的联系，掌握数形结合的思想方法.
二、教学重难点
1.重点：指数函数、对数函数的单调性，图像与性质.
2.难点：与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题.
三、教学过程
1.知识梳理
1.1指数函数及其性质
a1
0a1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x0时，y1；
当x0时，0y1
当x0时，y1；
当x0时，0y1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
问题1：如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？
【预设的答案】cd1ab0.
【设计意图】了解指数函数中，底数变化对函数图像的影响.
1.2对数函数的图象与性质
y＝logax
a1
0a1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x1时，y0；
当0x1时，y0
当x1时，y0；
当0x1时，y0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
1.3反函数
指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
问题2：如如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
【预设的答案】0cd1ab.
【设计意图】了解对数函数中，底数变化对函数图像的影响.
2.题型探究
题型一：指数函数的图象与性质
命题点1比较指数式的大小
例1.(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()
A．a＝b＝0 B．ab0
C．0ab D．0ba
【预设的答案】ABD
解析如图，观察易知，ab0或0ba或a＝b＝0，故选ABD.
【设计意图】有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
命题点2指数型函数的图像
例2.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
【预设的答案】(0,2)
解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
【设计意图】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
命题点3解简单的指数不等式
A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)
【预设的答案】B
解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，
即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，
即为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).
【设计意图】利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
题型二：对数函数的图象与性质
命题点1比较指数式、对数式的大小
A．bac B．cab
C．cba D．acb
【预设的答案】D
又c＝log34log39＝2，b＝e1.52，
∴acb.
(2)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是()
A．abc B．bac
C．cba D．acb
【预设的答案】C
解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得
eq\f(1,log2a)eq\f(1,log2b)eq\f(1,log2c)0，
即log2clog2blog2a0，
可得cba1.故选C.
【设计意图】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结