xAyAzAxByBzB旋转变换通式再定义两坐标系{A’}和{B’}，分别与{A}和{B}固接，但要求(1){A’}和{B’}的z轴与k重合。(2)旋转之前{A’}和{B’}重合，{A}和{B}也重合。第26页，共35页，星期日，2025年，2月5日又因为所以可以得到：坐标系{B}绕k轴相对于{A}旋转θ角相当于：坐标系{B’}相对于{A’}的z轴旋转θ角，保持其他关系不变。则xAyAzAxByBzB坐标系{A}经过如下变换到坐标系{B}:第27页，共35页，星期日，2025年，2月5日机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算第1页，共35页，星期日，2025年，2月5日齐次变换矩阵及其运算由于各种原因，变换矩阵应写成方型形式，3*3或4*4均可.为保证所表示的矩阵为方阵，如果在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可在矩阵中加入比例因子使之成为4*4矩阵。第2页，共35页，星期日，2025年，2月5日变换可定义为空间的一个运动。已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换来求得。变换可分为如下形式：纯平移纯旋转平移与旋转的结合第3页，共35页，星期日，2025年，2月5日1.平移的齐次变换空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a平移算子第4页，共35页，星期日，2025年，2月5日①算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。②算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。③该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换,如机器人手部的平移变换。第5页，共35页，星期日，2025年，2月5日例动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作(-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’}、{A’’}第6页，共35页，星期日，2025年，2月5日2．旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x,y,z)绕Z轴旋转θ角后至A’(x’,y’,z’),则A与A’之间的关系为：记为:a′=Rot(z,θ)a旋转算子第7页，共35页，星期日，2025年，2月5日同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：绕Z轴旋转算子内容为：第8页，共35页，星期日，2025年，2月5日如图所示单操作手臂，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手部的起始位姿矩阵为G1.若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂到达G2；若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴转90°，则手部到达G3.写出手部坐标系G2、G3表达式。第9页，共35页，星期日，2025年，2月5日第10页，共35页，星期日，2025年，2月5日3．复合齐次变换复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。相对于固定坐标系相对于动坐标系算子左乘算子右乘第11页，共35页，星期日，2025年，2月5日已知坐标系中点U的位置矢量，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后所得的点W。第12页，共35页，星期日，2025年，2月5日平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换算子即可得到最后的列阵表达式。第13页，共35页，星期日，2025年，2月5日第14页，共35页，星期日，2025年，2月5日齐次变换矩阵的数学意义：（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换；（2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位；（3）点的运动算子。第15页，共35页，星期日，2025年，2月5日4．变换矩阵相乘对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对｛A｝的描述为，｛C｝相对｛B｝的描述为，则。从而定义复合变换表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘和右乘的运动解释不同。第16页，共35页，星期日，2025年，2月5日复合变换可解释为：(1)和分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和