抛物线的基本知识点
一、抛物线的定义
抛物线是平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。设抛物线上一点为P，根据定义则有|PF|=d（d为点P到准线的距离）。例如，对于抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a≠0\)），它满足上述抛物线的定义性质。
二、抛物线的标准方程
1.焦点在x轴正半轴上
-标准方程为\(y^{2}=2px(p0)\)，焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。例如，当\(p=2\)时，抛物线方程为\(y^{2}=4x\)，焦点为\((1,0)\)，准线为\(x=-1\)。
2.焦点在x轴负半轴上
-方程为\(y^{2}=-2px(p0)\)，焦点坐标\((-\frac{p}{2},0)\)，准线方程\(x=\frac{p}{2}\)。
3.焦点在y轴正半轴上
-方程为\(x^{2}=2py(p0)\)，焦点坐标\((0,\frac{p}{2})\)，准线方程\(y=-\frac{p}{2}\)。
4.焦点在y轴负半轴上
-方程为\(x^{2}=-2py(p0)\)，焦点坐标\((0,-\frac{p}{2})\)，准线方程\(y=\frac{p}{2}\)。
三、抛物线的性质
1.对称性
-对于抛物线\(y^{2}=2px(p0)\)，它关于x轴对称。因为如果点\((x,y)\)在抛物线上，那么点\((x,-y)\)也在抛物线上。其他标准方程形式的抛物线也具有相应的对称性，\(y^{2}=-2px(p0)\)关于x轴对称，\(x^{2}=2py(p0)\)关于y轴对称，\(x^{2}=-2py(p0)\)关于y轴对称。
2.顶点
-所有抛物线的标准方程的顶点都在原点\((0,0)\)。不过，对于抛物线\(y=a(x-h)^{2}+k\)（\(a≠0\)），其顶点坐标为\((h,k)\)，它是由标准方程通过平移得到的。
3.离心率
-抛物线的离心率\(e=1\)，这是抛物线的一个重要特征，它区别于椭圆（\(0e1\)）和双曲线（\(e1\)）。
四、抛物线的参数方程
对于抛物线\(y^{2}=2px(p0)\)，其参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x=2pt^{2}\\y=2pt\end{array}\right.\)（\(t\inR\)）。参数\(t\)具有一定的几何意义，它可以用来方便地表示抛物线上的点的坐标，并且在解决一些与抛物线相关的轨迹问题、最值问题等方面有着重要的应用。
五、抛物线的切线方程
1.对于\(y^{2}=2px(p0)\)在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线方程
-切线方程为\(yy_{0}=p(x+x_{0})\)。可以通过求导的方法得到这个切线方程，先将抛物线方程\(y^{2}=2px\)两边对\(x\)求导，得到\(2y\frac{dy}{dx}=2p\)，即\(\frac{dy}{dx}=\frac{p}{y}\)，然后根据点斜式得到切线方程。
2.对于\(x^{2}=2py(p0)\)在点\((x_{0},y_{0})\)处的切线方程
-切线方程为\(x_{0}x=p(y+y_{0})\)。同样是通过求导的方法得到，先对\(x^{2}=2py\)两边求导，\(2x=2p\frac{dy}{dx}\)，即\(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{p}\)，再根据点斜式得到切线方程。
六、抛物线的应用
1.在物理中的应用
-在抛体运动中，如果忽略空气阻力，物体的运动轨迹是抛物线的一部分。例如，水平抛出的物体，其水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，其合运动轨迹符合抛物线方程。
2.在工程中的应用
-抛物线在建筑设计中也有应用，如一些拱形建筑的轮廓设计成抛物线形状，可以更好地分散压力，增强结构的稳定性。在卫星天线的设计中，也常常采用抛物线的形状，利用抛物线的光学性质（平行于对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于焦点）来接收和发射信号。