专题强化训练(八)训练线段垂直平分线的四种常见应用第15章轴对称图形与等腰三角形

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1．[2023·宿州月考改编]如图，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，△ACD的周长是13，BC＝8，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3返回B

2．[2022·淮南期末]如图，在△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝3cm，△ABC的周长是16cm，则△ABN的周长是________cm.10 返回

3．[2022·定远期末]如图，在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝24°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°A返回

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E.若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，则∠A＝()A．20° B．25°C．22.5° D．30°C返回

5.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为()A．90°B．95°C．100°D．105°D

【点拨】∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°.根据题意，得MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B.又∵∠ADC＝∠B＋∠BCD，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝105°.返回

6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，DE是线段BC的垂直平分线，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ABP＝32°，求∠ACP的度数；解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴PB＝PC.∴易得∠PBC＝∠PCB.∵BF平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC.∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCB.∵∠ABP＝32°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCB＝32°.在△ABC中，∠A＝60°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴60°＋3∠ABP＋∠ACP＝180°.∴∠ACP＝24°.

(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：______________．m＋3n＝120返回

7．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？(保留作图痕迹，不写作法)返回解：如图，点C即为所求．

8．合肥某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三条公路的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？解：作法：如图所示，A，B，C代表三条公路的交叉点．

①连接AB，BC.②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则这个监控仪器安装在点P的位置可离三条公路的交叉点的距离相等．返回

9．如图，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线的交点D恰好落在BC边上．(1)判断△ABC的形状；解：∵AB，AC的垂直平分线的交点D落在BC边上，∴AD＝BD，AD＝CD.∴易得∠ABD＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA.又∵∠ABD＋∠ACD＋∠BAC＝180°，∴∠ABD＋∠BAD＋∠DAC＋∠ACD＝180°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°.∴△ABC为直角三角形．

(2)若点A在线段DC的垂直平分线上，求的值．解：∵点A在线段DC的垂直平分线上，∴AD＝AC.又∵DA＝DC，AD＝BD，∴BD＝CD＝AC.∴BC＝BD＋CD＝2AC.返回

10．如图，在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，∠ACB＝∠ADB，CD与AB的延长线交于点E.(1)求证：BC＝BD；

(2)求证：AE⊥CD.证明：∵△ABC≌△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∴AE垂直平分CD，即AE⊥CD.返回

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？说明理由．解：DE＝BF，DE⊥BF.理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴易得∠ABD＝∠A＝22.5°.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝