;;√;;【解析】(1)设M(x，y)，连接MA，由题意知，|MA|＝|MB|，MB⊥l，

所以动点M的轨迹H是以A(1，0)为焦点，以直线l：x＝－1为准线的抛物线，;(2)过点A的直线与曲线H交于P，Q两点，直线l上是否存在一点C，使得△PQC是等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．;由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，

假设存在这样的点C满足条件，

因为x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，则线段PQ的中点为N(2m2＋1，2m)．;;【解析】(1)设双曲线C的焦距为2c.

由双曲线C的离心率为2知c＝2a，;(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．;所以t＝－1，即M(－1，0)．

当x0≠2时，;将y02＝3x02－3代入并整理得－2x02＋(4＋2t)x0－4t＝－2x02－2tx0＋t2＋3，;;(2)设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围；;思考题2(2025·潍坊市质检)已知双曲线C的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为y＝x，且M，N分别是双曲线的左、右顶点．

(1)求双曲线C的方程；;(2)设过点G(4，0)的动直线l交双曲线C右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k1，k2.;【解析】(2)(ⅰ)依题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ty＋4，;所以直线BN的方程为x＝－y＋2.;√;的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

(1)求椭圆E的方程及离心率；;(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．;;3．(2023·全国甲卷，理)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p0)交于A，B两点，且|AB|＝.

(1)求p；;解析(2)因为F(1，0)，显然直线MN不可能为水平直线，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，;即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，

即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，

将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，

得4m2＝n2－6n＋1，则4(m2＋n)＝(n－1)20，

所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，;上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率；;由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，;化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0，;;(1)求C的方程；;(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．;设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

由题意知16－k12≠0且Δ＝16(4t2－4k1t－3k12＋64)＞0，;所以k22－16＋k12k22－16k12＝k12－16＋k12k22－16k22，即k12＝k22，

又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.;;(2)证明：直线CD过定点．;可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①;代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m2n(n＋3)＋(n＋3)2(m2＋9)＝0，;