;;√;1．长方体的外接球

(1)球心：体对角线的交点；;3．正四面体的外接球与内切球;推导如下：设正四面体S－ABC的棱长为a，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，如图，取AB的中点D，连接SD，CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，且圆心在高SE上的圆．由正四面体的对称性，可知其内切球和外接球的球心同为O.;√;;(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．;;;思考题1(1)(2020·天津)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A．12π B．24π

C．36π D．144π;;;【解析】设正三棱锥P－ABC的高为PD，易知球心O在PD上，且PD＝3，连接AD，AO，如图所示．

设球O的半径为R，则AO＝PO＝R，OD＝3－R，;;微专题2可补形为长方体、正方体或棱柱的三棱锥的外接球;【解析】因为在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC.

所以由PA⊥PB，可得PA⊥PC，PC⊥PB.

以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作

正方体(如图所示)，则正方体的外接球即三棱锥P－ABC的外接球．;;;微专题3四棱锥的外接球;【解析】如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接EG，PE.∵四边形ABCD为矩形，∴G为四边形ABCD的外接圆圆心．∵△PAD为等边三角形，在线段PE上取ME＝PE，∴M为△PAD外接圆圆心，过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，设球O的半径为R，连接OP，

∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG.同理可得，OM∥EG，

∴四边形OMEG为矩形，;;微专题4台体的外接球;设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在射线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O在线段O1O2的延长线上时，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A.;;思考题2(1)已知??锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上，若该圆锥的底面半径为2，高为6，则球O的表面积为()

A．32π B．48π

C．64π D．80π;(2)(2021·全国甲卷，理)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为();(3)(2023·全国乙卷，文)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．;;(2)(2020·课标全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．;;思考题3(1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为();【解析】平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，如图．

因为正方体的棱长为1，;(2)已知正三棱锥P－ABC的高为3，底面ABC是边长为6的等边三角形，先在三棱锥P－ABC内放入一个内切球O1，然后再放入球O2，使得球O2与球O1以及三棱锥P－ABC的三个侧面相切，记球O1和球O2的半径分别为R1，R2，则＝()

A．2B．2C．3 D．4;√;建系法解决几何体的外接球问题;解析方法一：因为PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，易知PB⊥AC.又E，F分别为PA，AB的中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC.又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，;方法二：由题知，三棱锥P－ABC为正三棱锥，

∴点P在底面ABC的射影G为△ABC的中心．;讲评方法一的几何法对学生能力要求较高，考查学生的综合运用能力．而方法二的建系法解决此类问题就显得更加简单明了．;2．(2025·邯郸一中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底