4.5.2用二分法求方程的近似解
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)
深圳第二外国语中学任立勇
教学目标
1.探索用二分法求方程近似解的思路.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
二、教学重难点
重点：利用二分法求方程的近似解；
难点：利用二分法求方程的近似解．
三、教学过程
1.二分法的形成
1.1创设情境，引发思考
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半.
问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
【预设的答案】取中间、减半等。
问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200m左右，至多需要爬几次电线杆子？
【预设的答案】6
【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。
1.2探究典例，形成概念
活动：能否求出方程lnx＋2x－6=0的近似解？
【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察，研探。
【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，也就是方程lnx＋2x－6=0近似值。
2、教师讲授
2.1二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2.2初步应用，理解概念
题型一:二分法概念的理解
【例1】下列函数中不能用二分法求零点的是()
【答案】B
【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()
A.4，4B.3，4
C.5，4D.4，3
【答案】D
【设计意图】
理解二分法的适用条件，且不是所有零点都可以用二分法估计。
【归纳总结】
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．
题型二:用二分法求方程的近似解
【设计意图】
让学生规范应用二分法的步骤解决问题。
【训练】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解：经计算，f(1)0，f(1.5)0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)·f(1.5)0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)0
(1.25，1.375)
1.3125
f