例5已知线性方程组考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解时的收敛性解:⑴雅可比迭代矩阵故Jacobi迭代收敛第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日⑵将系数矩阵分解则高斯-塞德尔迭代矩阵故高斯—塞德尔迭代收敛。第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日定理8设n阶方阵为严格对角占优阵,则非奇异证:因A为对角占优阵,其主对角元素的绝对值大于同行其它元素绝对值之和,且主对角元素全不为0,故对角阵为非奇异。作矩阵第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日利用对角占优知由定理知非奇异,从而A非奇异,证毕系数矩阵为严格对角占优阵的线性方程组称作对角占优方程组。第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日结论：严格对角占优线性方程组的雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日定理9若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日证明若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日定理12对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0ω2时，SOR迭代收敛.证明只需证明λ1（其中λ为Lω的任一特征值）.第40页，共62页，星期日，2025年，2月5日定理13对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w≤1时，SOR迭代收敛。第41页，共62页，星期日，2025年，2月5日第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日例6设,证明,求解方程组的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散证:雅可比迭代矩阵其谱半径第43页，共62页，星期日，2025年，2月5日例6设,证明,求解方程组的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散证:G-S迭代矩阵其谱半径显然,和同时小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性第44页，共62页，星期日，2025年，2月5日第1页，共62页，星期日，2025年，2月5日§6.1迭代法的基本思想迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。第2页，共62页，星期日，2025年，2月5日设非奇异，，则线性方程组有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法第3页，共62页，星期日，2025年，2月5日如果存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。收敛时，在迭代公式中当时，,则,故是方程组的解。对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。并非全部收敛第4页，共62页，星期日，2025年，2月5日例1用迭代法求解线性方程组解构造方程组的等价方程组据此建立迭代公式取计算得迭代解