进一步有：两边关于r求导，得得由3.2三维波动方程的泊松公式第31页，共84页，星期日，2025年，2月5日即可得：由3.2三维波动方程的泊松公式第32页，共84页，星期日，2025年，2月5日由初值条件和的表达式，有：其中分别是函数在上的球平均值。 满足如下定解问题：3.2三维波动方程的泊松公式第33页，共84页，星期日，2025年，2月5日方程的通解为利用初始条件有其中是两个二次连续可微的任意函数3.2三维波动方程的泊松公式第34页，共84页，星期日，2025年，2月5日所以解方程组得3.2三维波动方程的泊松公式第35页，共84页，星期日，2025年，2月5日将延拓到r0的范围内。并且同理也是偶函数利用3.2三维波动方程的泊松公式第36页，共84页，星期日，2025年，2月5日所以3.2三维波动方程的泊松公式第37页，共84页，星期日，2025年，2月5日由于，只考虑的情形利用洛必达法则3.2三维波动方程的泊松公式第38页，共84页，星期日，2025年，2月5日即简记成3.2三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式第39页，共84页，星期日，2025年，2月5日三、泊松公式的物理意义从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设且，1.在任一固定点的振动情况设，由沿以M为中心，at为半径的球面的曲面积分所决定。3.2三维波动方程的泊松公式第40页，共84页，星期日，2025年，2月5日M点处于静止状态，说明T的振动尚未达到M点。①当时，为空集，所以②当时，不为空集，所以M点处于振动状态,表明T的振动已传到M点。③当时，为空集，说明振动已传过M点，M点仍回复到静止状态。3.2三维波动方程的泊松公式第41页，共84页，星期日，2025年，2月5日2.在某固定时刻，初始时刻的振动所传播的范围设，T是半径为R的球体。由Poisson公式，只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值，故P点的初始扰动，在时刻只影响到以P为球心，以为半径的球面当P在T内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为T内各点的振动在时刻所传播的区域，称为T在时刻的影响区域。3.2三维波动方程的泊松公式第42页，共84页，星期日，2025年，2月5日总之，三维空间中有限区域T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为Huygens原理。在足够大时，包络面以T的心o(T)为心，分别以和为半径的球面所夹部分。故时刻的影响区域为的球壳，球面是振动到来的前峰，称为波的前阵面,球面是振动传过后的后沿，称为波的后阵面。3.2三维波动方程的泊松公式第43页，共84页，星期日，2025年，2月5日R3.2三维波动方程的泊松公式第44页，共84页，星期日，2025年，2月5日[解]例.设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为：,求解相应的Cauchy问题。3.2三维波动方程的泊松公式第45页，共84页，星期日，2025年，2月5日三.降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题设解为,令，则3