图3.5不同情况下投资组合均值与方差的关系第30页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2均值—方差分析及两基金分离定理第31页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.1投资组合的期望收益和方差设市场只有n种风险资产，仅有两个时刻，时刻0代表今天，时刻1代表明天，其单期收益为记为收益率向量。设称w为投资组合，其中wi是第i种资产Xi上的投资比例，满足这里没有的限制，说明市场有做空机制。第32页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.1投资组合的期望收益和方差以表示第i种资产收益的期望值，为期望收益向量。若w为投资组合，满足投资组合的收益率也是随机变量，其期望值称为投资组合的期望收益。第33页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.1投资组合的期望收益和方差设是n维向量，记称n阶矩阵为方差－协方差阵。如果为可逆矩阵，为正定矩阵，投资组合的收益率的方差为用矩阵表示第34页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.1投资组合的期望收益和方差有效投资组合的假设条件(1)仅存在无风险利率Rf,可以无限制借贷，(2)假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数，(3)假定市场无摩擦，即无任何交易成本，无税收，资产数量单位无限可分,(4)假定市场的参与者都有相同的预期。第35页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.2有效投资组合定义3.1如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益，或者对于确定的期望收益，有最小的方差，这样的投资组合称为“均值——方差”有效的投资组合。定义3.2如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差，那么称该投资组合为最小方差投资组合。第36页，共68页，星期日，2025年，2月5日可行资产组合均方有效前沿最小方差资产组合注：阴影部分代表资产组合的可行区域，AB弧表示的边界为有效资产组合集，它也称为资产组合的‘有效前沿“，而可行区域的整个边界（AB弧和AC弧）即为最小方差资产组合集。结论：均方有效的资产组合也是最小方差资产组合，但其逆不对。第37页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.3求最小方差投资组合的
数学模型及其求解求最小方差投资组合可归结为如下最优模型的求解问题。第38页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.3求最小方差投资组合的
数学模型及其求解模型（3.2.4）是具有等式约束的二次规划问题，可以用Lagrange乘数法求解，令最优解的一阶条件为第39页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.3求最小方差投资组合的
数学模型及其求解假设可逆，由方程（3.2.5a）得到最优解:将式（3.2.6）代入式（3.2.5c），得将式（3.2.6）代入式（3.2.5c）得第40页，共68页，星期日，2025年，2月5日其中(3.2.8a)因为可逆，又所以由（3.2.7a）及（3-.2.7b）得（3.2.8b)代入（3.2.6）式，得(3.2.9a)第41页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.4均值－方差分析对一般n种资产的情形收益水平的最小方差投资组合的方差为再将和代入得第42页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.4均值－方差分析0在最小方差组合的方差—均值空间是抛物线，其顶点是图3.6最小方差组合的收益均值与方差的关系第43页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.4均值－方差分析讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系将方程（3.2.9b）改写为由（3.2.10）可见，在标准差－均值空间种的图形是双曲线，第44页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.4均值－方差分析0图3.7最小方差组合的期望收益与标准差的关系全局最小方差资产组合第45页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.5两基金分离定理讨论全体最小方差组合构成的集合的性质：任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的最小方差投资组合的凸组合表示。这条性质称为两基金分离定理。由式（3.2.6）得第46页，共68页，星期日，2025年，2月5日3.2.5两基金分离定理其中，假设显然，而