?Aitken加速：简单迭代法xyy=xy=φ(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)一般地，有：比收敛得略快。?Steffensen加速：第30页，共54页，星期日，2025年，2月5日2.3牛顿迭代法2.3.1迭代公式的建立2.3.2牛顿迭代法的收敛情况2.3.3牛顿迭代法的修正法第31页，共54页，星期日，2025年，2月5日2.3牛顿法原理：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0?x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，?在x0和x*之间。将(x*?x0)2看成高阶小量，则有：线性化xyx*x0x1迭代公式：迭代函数：第32页，共54页，星期日，2025年，2月5日牛顿切线法2.3.2牛顿切线法的收敛情况定理（局部收敛性）设函数在包含的某邻域内有阶连续导数，是方程的单根，则当初值充分接近时，牛顿切线法收敛，且至少为二阶收敛。并有这里单根意味着：第33页，共54页，星期日，2025年，2月5日牛顿切线法2.3.2牛顿迭代法的收敛情况定理设函数满足且在邻域连续，则牛顿迭代法在收敛，且至少为二阶收敛。并有第34页，共54页，星期日，2025年，2月5日牛顿切线法证明：牛顿法事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)?0在单根附近收敛快?第35页，共54页，星期日，2025年，2月5日牛顿切线法注：牛顿法收敛性依赖于x0的选取。x*x0?x0?x0具有局部恒收敛性，收敛性依赖于初值的选取。收敛性好（至少平方收敛）每次计算要计算导数，效率不高牛顿法特点：第36页，共54页，星期日，2025年，2月5日例题例1:用Newton法求的近似解。（取8位有效数字）。解：由零点定理。第37页，共54页，星期日，2025年，2月5日例题第38页，共54页，星期日，2025年，2月5日例题例2:用Newton法计算。解：第39页，共54页，星期日，2025年，2月5日牛顿迭代法算法框图第40页，共54页，星期日，2025年，2月5日第1页，共54页，星期日，2025年，2月5日求非线性方程根的一些常用方法：区间分割法（逐步搜索法、二分法）迭代法牛顿法割线法第2页，共54页，星期日，2025年，2月5日2.1区间搜索法预备知识：方程的根：单根、重根。根的存在性定理：定理：若f在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f在(a,b)上必有一根；若f在[a,b]上连续且单调则f在(a,b)上有且仅有一根。定理函数f(x)对于x*有f(x*)=0，但则称为方程的单根。如果有但，则称是方程的m重根。第3页，共54页，星期日，2025年，2月5日2.1.1逐步搜索法思路：先把区间[a,b]均分为N等分，从初始值x0=a开始，步长h＝（b－a）/N来增值。每跨一步进行一次根的搜索。计算速度慢，一般用于确定根的位置例：求连续函数f(x)在有根区间[a,b]上的根。2.1.2二分法思路：二分法的基本思想就是逐步对分区间,经过对根的搜索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值。第4页，共54页，星期日，2025年，2月5日二分法的步骤：在有根区间取中点，计算函数值，若，就得到方程的实根，否则检查与是否同号，如同号，说明待求的根在的右侧，这时令