??1)对任意两个复数α与β，下列三个关系有且只有一个成立：αβ;α=βαβ???????2)若αβ,βγ，则αγ．
???????3)若αβ，γ为任意复数α+γβ+γαβ???????4)若αβ，γO,有
α·γβ·γ???????第30页，共42页，星期日，2025年，2月5日第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日阅读教材：
主要学习内容：1.群、环、域的基本知识2.复数域的构造（实数域的扩充）3.复数为什么不能比较大小？复数域是有序集，但不是有序域第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日§1.3整数环以自然数集为基础，用添加负整数的方法扩展到整数集并讨论整数的运算及有关性质．一、整数的概念1.负整数的引入⑴减法定义：使则⑵负整数定义：2.整数概念及其绝对值正整数、负整数和零，统称整数．整数集记为Z第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日群Group定义1设G,*是有单位元的半群。若G中每个元素都有逆元，则称G,*为群。在群中，通常将元素x的逆元记为x-1.要证明一个代数系统G,*是否是群，根据群的定义需要证明以下4点：1)*是G上的二元运算；2)*满足结合律；3)关于*有单位元；4)G中每个元素关于*有逆元。第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日例设Z是整数集合，+是整数加法，由算术知识知:1)两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故+是I上的二元运算；2)整数加法满足结合律；3)取0∈Z,?a∈Z,有a+0＝0+a＝a。由单位元的定义知，0是关于+的单位元；4)?a∈Z，取-a∈I，有a+(-a)＝(-a)+a＝0。由逆元的定义知I中每个元素有逆元；由群的定义知Z,+是群。第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日二、整数运算与整数环
环的定义设(R,⊕,?)是一个代数结构，若（1）(R,⊕)为交换群；（2）(R,?)为半群；（3）运算?对⊕满足分配律，则称(R,⊕,?)为一个环。第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日三、整数集的性质1.Z是序集有序集：如果存在一种关系R,集合里任意两个元素都能确定ARB或者BRA。整数的大小顺序的定义：（教材P24）整数的顺序具有传递性和三分性，是有序集。第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日2.Z具有离散性
整数的离散性就是指在某些整数之间没有整数，例如1和2,-100和-99等；有理数的稠密性就是指任两个有理数之间必有有理数。
第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日3.Z是可列集（教材P24）可列集:如果一个无限集中的元素可按某种规律排成一个序列。每个无限集必包含可列子集，但无限集并非一定是可列集。自然数集、有理数集都是可列集。实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）。凡是能够和自然数集N建立一一对应关系的无限集是可列集．第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日四、带余除法和整除概念定理（带余除法）设，，则存在，使成立，其中是唯一的．（证明参见P24）第10页，共42页，星期日，2025年，2月5日§1.4有理数域一、有理数概念二、有理数的顺序三、有理数运算与有理数域①Q含有0和单位元1②对于加、减、乘、除（除数不为零）四种运算都封闭③Q的加法和乘法都满足交换律和结合律，还满足乘法对加法的分配律∴Q是一个数域．第11页，共42页，星期日，2025年，2月5日域第12页，共42页，星期日，2025年，2月5日定义一个环Ｒ叫做一个除环，若１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；２、Ｒ有一个单位元；３、Ｒ每一个非零的