例1实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例3实数域上的线性空间中，函数组也是线性无关的。第31页，共66页，星期日，2025年，2月5日例4实数域上的线性空间空间中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换第32页，共66页，星期日，2025年，2月5日定义设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意一个向量都可以由线性表出则称为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称为一个维线性空间，记为例1实数域上的线性空间中向量组与向量组第33页，共66页，星期日，2025年，2月5日都是的基。是3维线性空间。例2实数域上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。例3实数域上的线性空间中的向量组第34页，共66页，星期日，2025年，2月5日与向量组都是的基底。的维数为注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4在4维线性空间中，向量组第35页，共66页，星期日，2025年，2月5日与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。解：设向量在第一组基下的坐标为第36页，共66页，星期日，2025年，2月5日于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为第37页，共66页，星期日，2025年，2月5日由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为第38页，共66页，星期日，2025年，2月5日将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称阶方阵第39页，共66页，星期日，2025年，2月5日是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵是可逆的。第40页，共66页，星期日，2025年，2月5日任取，设在两组基下的坐标分别为