重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题
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01方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 5
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 8
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 10
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 12
03过关测试 17
活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，其中锐角满足，
因此，当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设，设，则．
∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．
∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，
故选：C．
【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得，即.
故选：D
【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
时，也垂直，所以两直线始终垂直，
又P是两条直线的交点，，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，
，
故选:D．
【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（????）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】C
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
因为，所以动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，，
故（当且仅当时取“”，
故选：C．
【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（????）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，动直线经过定点，则，
动直线变形得，则，
由得，
∴
，
故选：B．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．
【答案】5
【解析】设点，由得：，
即，即，
在以为直径的圆上，不妨设，，
则，，
，
，其中为辅助角，
令，，则，．
，
令，，，
在，上单调递增，
故当时，取得最小值，
再令，，
显然在，上单调递增，
故时，取得最小值，
综上，当，时，取得最小值25．
故的最小值为5,
故答案为：5．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为．
【答案】10
【解析】设，由题意可得：，
则：，
ABC构成三角形，则：，解得：，
由余弦定理：
，
当时，取得最大值为10.
【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．
【答案】
【解析】设，，，
，
当取得最小值时，取得最小值，
由圆，则圆心，半径，
易知，则.
故答案为：.
【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为．
【答案】
【解析】
由已知，，
设Px0,y0
所以，
因为，所以当OP取得最小值时，取得最小值，
由OP的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心