重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题
目录TOC\o1-2\h\z\u
01方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 2
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 3
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 3
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 4
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 4
03过关测试 6
活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。
解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（????）
A．4 B．10 C．5 D．
【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（????）
A．5 B．10 C． D．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．
【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为．
【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．
【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为．
【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
【典例3-1】已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为.
【典例3-2】已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是.
【变式3-1】已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
，
【变式3-2】已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是.
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是.
【典例4-2】设向量满足，，，则的最大值等于()
A．4 B．2 C． D．1
【变式4-1】（2024·天津·一模）如图，梯形中，,E和分别为AD与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·广东广州·一模）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·江西赣州·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的