第06讲双曲线及其性质
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1：双曲线的定义 4
知识点2：双曲线的方程、图形及性质 4
解题方法总结 7
题型一：双曲线的定义与标准方程 7
题型二：双曲线方程的充要条件 10
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 11
题型四：双曲线上两点距离的最值问题 13
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 14
题型六：离心率的值及取值范围 16
方向1：利用双曲线定义去转换 16
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 17
方向3：利用，其中2c为焦距长， 18
方向4：坐标法 19
方向5：找几何关系，利用余弦定理 19
方向6：找几何关系，利用正弦定理 20
方向7：利用基本不等式 21
方向8：利用渐近线的斜率求离心率 22
方向9：利用双曲线第三定义 23
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 24
题型七：双曲线的简单几何性质问题 25
题型八：利用第一定义求解轨迹 27
题型九：双曲线的渐近线 31
题型十：共焦点的椭圆与双曲线 32
题型十一：双曲线的实际应用 35
04真题练习·命题洞见 38
05课本典例·高考素材 39
06易错分析·答题模板 41
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全 41
答题模板：求双曲线的标准方程 41
考点要求
考题统计
考情分析
（1）双曲线的定义与标准方程
（2）双曲线的几何性质
2024年天津卷第8题，5分
2024年甲卷（理）第5题，5分2023年甲卷（文）第8题，5分
2023年天津卷第9题，5分
2023年北京卷第12题，5分
2023年I卷第16题，5分
双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．
复习目标：
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．
（3）了解双曲线的简单应用．
知识点1：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
【诊断自测】双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（????）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
知识点2：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
A2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【诊断自测】（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（????）
A． B．
C． D．
解题方法总结
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价