第12讲专题导数中的“距离”问题
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01方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 2
题型一：曲线与直线的距离 2
题型二：曲线与点的距离 7
题型三：曲线与圆的距离 8
题型四：曲线与抛物线的距离 12
题型五：曲线与曲线的距离 14
题型六：横向距离 19
题型七：纵向距离 23
题型八：直线与两曲线交点的距离 26
03过关测试 28
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（???）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【解析】表示点与点的距离的平方，
点在曲线上，点在曲线上，
如图，可得，
设与平行的直线与曲线相切于点，．
，，①
点与点的距离的平方的最小值等于点，到直线的距离．
，②
结合①②得，，或，.
故选：D.
【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.
∵
∴
∵直线的斜率为1
∴令，解得，则，
即曲线在处的切线和直线平行，
则最短距离为点到的距离，
∴的最小值为
故选：B
【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
由，所以，
易得函数为在上单调递增函数，为零点，
此时M的坐标为，
由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.
故选:
【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（????）
A． B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】由题意，设函数，直线，
设直线与函数的切点为
可得，可得，解得，可得，
即切点坐标为，则切点到直线的距离为，
又因为表示点到直线的距离为平方，
所以的最小值为.
故选：C.
【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（????）
A． B．3 C．或3 D．1或3
【答案】A
【解析】因为，令，解得，
而，
则函数的图象在点处的切线方程为，
则，即点到直线的距离为，
所以，解得或，
当时，与函数的图象相交，
所以.
故选：A.
【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】由，得，令，则，
令得，当时，单调递减，当时，单调递增；
由，得，令，
的图像如下图：
则表示上一点与上一点的距离的平方，
显然，当过M点的的切线与平行时，最小，
设上与平行的切线的切点为，由，解得，
所以切点为，切点到的距离的平方为，
即的最小值为8；
故选：A.
【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（????）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
题型二：曲线与点的距离
【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以
，选D.
【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实