图5.4第30页，共64页，星期日，2025年，2月5日迭代过程(5―8)就是在x轴取初始近似值x0,过x0作y轴的平行线交曲线y=g(x)于p0,p0的横坐标为x0,纵坐标为g(x0)(g(x0)=x1),也即p0(x0,x1)再在x轴上取x1作为新的近似值,过x1作y轴的平行线交曲线y=g(x)于p1,p1的横坐标为x1,纵坐标为g(x1)(g(x1)=x2),也即p1(x1,x2)而这相当于过p0引平行于x轴的直线交y=x于?Q1(x1,x2)第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日再过Q1引平行于y轴的直线交曲线y=g(x)于?p1(x1,x2)?仿此可得到点列?p0(x0,x1),p1(x1,x2),p2(x2,x3),…?若则迭代法收敛,见图5.4(a);否则迭代法发散,见图5.4(b)。第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日必须说明两点:①要验证g(x)是否满足李氏条件一般比较困难,若g(x)可微,可用充分条件来代替。这里q＜1是非常重要的条件,否则不能保证迭代收敛。②对于收敛的迭代过程,误差估计式(5―11)说明迭代值的偏差｜xk-xk-1｜相当小,就能保证迭代误差｜x-xk｜足够小。因此在具体计算时常常用条件｜xk-xk-1｜＜ε(5―15)来控制迭代过程结束。第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日迭代法的突出优点是算法的逻辑结构简单,且在计算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。其计算步骤为:(1)确定方程f(x)=0的等价形式x=g(x),为确保迭代过程的收敛,要求g(x)满足李普希茨条件(或｜g′(x)｜≤q＜1);(2)选取初始值x0,按公式?xk+1=g(xk),k=0,1,2,…?进行迭代;(3)若｜xk+1-xk｜＜ε,则停止计算,x≈xk+1。第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日例2求方程x=e-x在x=0.5附近的一个根。按五位小数计算,计算结果的精度要求为ε=10-3。解过x=0.5以步长h=0.1计算f(x)=x-e-x由于f(0.5)＜0,f(0.6)＞0故所求的根在区间(0.5,0.6)内,且在x=0.5附近第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日图5.5第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日表5―3第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日因此用迭代公式?由表可见为方程第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日最后,我们给出一个说明,在将方程(5―1)化为等价形式(5―7)时,g(x)的形式是多种多样的,选取不当,迭代公式(5―8)就不会收敛。最一般的形式可以写成?x=x+α(x)f(x)(5―16)?这里α(x)为任意一个正(或负)的函数。于是?g(x)=x+α(x)f(x)(5―17)这样可根据式(5―17)选取α(x),使得迭代公式(5―8)满足收敛条件特别当取(5―18)第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日时,由式(5―16)构造的迭代公式为下面要介