第04讲随机事件、频率与概率
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01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1：样本空间和随机事件 4
知识点2：两个事件的关系和运算 5
知识点3：概率与频率 6
题型一：随机事件与样本空间 7
题型二：随机事件的关系与运算 8
题型三：频率与概率 9
题型四：生活中的概率 10
题型五：互斥事件与对立事件 11
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率 12
04真题练习·命题洞见 13
05课本典例·高考素材 14
06易错分析·答题模板 15
易错点：混淆频率和概率 15
答题模板：互斥、对立事件的辨析 16
考点要求
考题统计
考情分析
（1）样本空间和随机事件
（2）两个事件的关系和运算
（3）频率与概率
2024年上海卷第15题，4分
2023年上海卷第5题，4分
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．
复习目标：
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
（2）理解事件间的关系与运算．
知识点1：样本空间和随机事件
1、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
3、随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
【诊断自测】下列现象是必然现象的是（????）
A．某路口每星期发生交通事故1次
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中7环
知识点2：两个事件的关系和运算
1、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
2、互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
（3）互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
【诊断自测】掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（????）
A．
B．表示向上的点数是1或3或5
C．表示向上的点数是1或3
D．表示向上的点数是1或5
知识点3：概率与频率
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率