二、大数定律与中心极限定理大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果稳定性的一系列定理的总称独立同分布大数定律——设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)＝μ（i=1,2,…），则对任意小的正数ε,有第62页，共93页，星期日，2025年，2月5日该定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望μ的偏差任意小的概率接近于1。该定律给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。第63页，共93页，星期日，2025年，2月5日伯努利大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的ε0，有该定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率。阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。第64页，共93页，星期日，2025年，2月5日2.中心极限定理独立同分布的中心极限定理——设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的μ和方差σ2（i=1,2,…），当n→∞时，或（注意：若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)）第65页，共93页，星期日，2025年，2月5日上述定理表明：独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下结论：不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。第66页，共93页，星期日，2025年，2月5日5.条件概率条件概率：在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：其中P(B)0。乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B|A)或P(AB)＝P(B)·P(A|B)第30页，共93页，星期日，2025年，2月5日P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率。即在样本空间?中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了。一旦事件B已发生AB?ABBAB第31页，共93页，星期日，2025年，2月5日【例】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：P(A)＝0.4，P(B)＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)＝0.28/0.4第32页，共93页，星期日，2025年，2月5日【例】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1＝第一次抽到合格品A2＝第二次抽到合格品A1A2＝抽到两件产品均为合格品第33页，共93页，星期日，2025年，2月5日6.事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)第34页，共93页，星期日，2025年，2月5日7.随机变量随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举第35页，共93页，星期日，2025年，2月5日8.离散型随机变量的概率分布X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系概率分布具有如下两个基本性质：pi≥0，i=