第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日5重节点差商定义5(重节点差商)若,?则定义类似的有分析：(2)首先,由定义泰勒展开式第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日(2)首先,由定义泰勒展开式证明：第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日第4页，共16页，星期日，2025年，2月5日给定的函数表并记§5差分，等距节点插值多项式5.1差分及性质且即1、差分（1）记号—向前差分算子；在称为点的步长为h的一阶向前差分—中心差分算子.定义6—向后差分算子；—二阶向前差分；—二阶向后差分；若—二阶中心差分；、向后、中心差分.分别第5页，共16页，星期日，2025年，2月5日(3)一般地，—阶向前差分；—阶向后差分；I—不变算子（恒等算子）；（4）设A与B为两算子,如，则称算子A与B为相等。记为若，则称A为B的逆算子。记为若（自己证）E—位移算子第6页，共16页，星期日，2025年，2月5日2、性质性质1的各阶差分均可用函数值表示。其中证明：用算子二项式定理：得即#第7页，共16页，星期日，2025年，2月5日用归纳法可证。性质2差分与差商的关系令证明：当m=1时，假设当m=k时，有则#自己证一般地第8页，共16页，星期日，2025年，2月5日性质3差分与导数关系证明：性质2定理75.2牛顿向前插值，向后插值公式函数表设有—被插值点。（1）当靠近(表初或差头)时，通常取插值节点：以下推导以为节点的等距插值公式。作变换则又由1、公式自己证第9页，共16页，星期日，2025年，2月5日代入(4.2)：（牛顿前插公式或表初公式）：即得牛顿向前插值公式系数系数系数系数第10页，共16页，星期日，2025年，2月5日作变换又则再由（牛顿后插公式或表末公式）：即得牛顿向后插值公式（2）当靠近时，通常取插值节点：，以下为插值节点的等距插值公式。推导以系数系数系数系数第11页，共16页，星期日，2025年，2月5日注：（1）（5.2）、(5.3)使用于等距节点。（2）（5.2）、(5.3)的系数分别为，差分表2-7求解方法见表2-7。(5.2)的系数(5.3)的系数第12页，共16页，星期日，2025年，2月5日