第13讲专题极值点偏移问题与拐点偏移问题
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01方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 3
题型一：极值点偏移:加法型 3
题型二：极值点偏移:减法型 5
题型三：极值点偏移:乘积型 6
题型四：极值点偏移:商型 7
题型五：极值点偏移:平方型 9
题型六：极值点偏移:混合型 10
题型七：拐点偏移问题 11
03过关测试 12
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。
图1极值点不偏移图2极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
题型一：极值点偏移:加法型
【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【典例1-2】（2024·安徽马鞍山·一模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
【变式1-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．
【变式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函数．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数恰有三个零点，证明：．
【变式1-3】（2024·河南新乡·三模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点，且，证明：.
题型二：极值点偏移:减法型
【典例2-1】已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
【变式2-1】已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
题型三：极值点偏移:乘积型
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
【变式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函数，．
(1)当时，恒成立，求a的取值范围．
(2)若的两个相异零点为，，求证：．
【变式3-