第03讲二项式定理
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01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 4
知识点2：二项式展开式中的最值问题 5
知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 6
题型一：求二项展开式中的参数 7
题型二：求二项展开式中的常数项 7
题型三：求二项展开式中的有理项 8
题型四：求二项展开式中的特定项系数 8
题型五：求三项展开式中的指定项 9
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 10
题型七：求二项式系数最值 10
题型八：求项的系数最值 11
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 12
题型十：求奇数项或偶数项系数和 13
题型十一：整数和余数问题 13
题型十二：近似计算问题 14
题型十三：证明组合恒等式 15
题型十四：二项式定理与数列求和 17
题型十五：杨辉三角 18
04真题练习·命题洞见 20
05课本典例·高考素材 21
06易错分析·答题模板 22
易错点：混淆项的系数与二项式系数 22
答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 23
考点要求
考题统计
考情分析
（1）二项式定理
（2）二项式系数的性质
2024年北京卷第4题，4分
2024年甲卷（理）第13题，5分
2023年北京卷第5题，4分
2023年天津卷第11题，5分
2023年上海卷第10题，5分
2022年I卷第13题，5分
(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
复习目标：
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
【诊断自测】已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为.
知识点2：二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
=5\*GB3⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
【诊断自测】设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则．
知识点3：二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③