第09讲专题证明不等式问题
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01方法技巧与总结 2
02题型归纳总结 2
题型一：直接法 2
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 3
题型三：分析法 5
题型四：凹凸反转、拆分函数 5
题型五：对数单身狗，指数找朋友 7
题型六：放缩法 8
题型七：虚设零点 10
题型八：同构法 11
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 13
题型十：分段分析法、主元法、估算法 15
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 16
题型十二：函数与数列不等式问题 17
题型十三：三角函数 18
03过关测试 19
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若，，证明：．
【变式1-2】已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.
(1)求的取值范围；
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
【变式2-1】已知函数有且只有一个零点，其中．
(1)求的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数的最大值；
(3)设，对任意，证明：不等式恒成立．
【变式2-2】设，当时，求证：．
【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
题型三：分析法
【典例3-1】已知函数，当时，证明：.
【典例3-2】已知函数，．
(1)若直线是函数的图象的切线，求实数的值；
(2)当时，证明：对于任意的，不等式恒成立．
【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；
(3)证明：.
题型四：凹凸反转、拆分函数
【典例4-1】已知函数，证明：当时，.
【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
【变式4-2】已知，，，求证：．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
(2)若的极大值为，求的取值范围．
(3)当时，求证：．
【变式4-4】已知函数，求证：.
【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：.
题型五：对数单身狗，指数找朋友
【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（其中为自然对数的底数）．
(1)求实数的值．
(2)当时，证明：对，都有．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：．
【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.
(1)求a；
(2)证明：.
题型六：放缩法
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值．
(2)证明：（其中为自然对数的底数）．
【典例6-