;;;地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节,是确定所设计的结构是否满足
最低抗震设防安全要求的关键步骤。由于地震作用的复杂性和地震作用发生强度的不确定
性,以及工程结构和体型的差异等,地震作用的计算方法不尽相同。;;
地震时,地面上原来静止的工程结构因地面运动而产生强迫振动,由地震动引起结构内力变化、变形、位移及结构运动速度与加速度变化等反应,这些反应统称为工程结构地震反应。因此,工程结构地震反应是一种动力反应,其大小(或振动幅值)不仅与地面运动有关,还与工程结构的动力特性(基本周期、振型和阻尼)有关,一般需采用结构动力学方法进行分析才能得到。
工程结构地震反应是地震动通过结构惯性引起的,因此地震作用(结构地震惯性力)是间接作用,而不能称为荷载。;;;;;将等高单层厂房和公路高架桥、水塔等结构中参与振动的所有质量全部折算至屋盖处,将墙、柱视为一个无重量的弹性杆,这样就形成了一个单质点体系。当该体系只做单向振动时,就形成了一个单自由度体系,如图4-2所示。假定地基不产生转动,而把地基的运动分解为一个竖向和两个水平方向的分量,然后分别计算这些分量对结构的影响。;图4-3所示为单自由度体系在地震作用下的计算简图。在地面运动¨xg的作用下,结构发生振动,产生相对地面的位移x、速度?x和加速度¨x。若取质点m为隔离体,则该质点上作用有三种力,即惯性力fI、阻尼力fc和弹性恢复力fr。;惯性力是质点的质量m与绝对加速度[¨xg+¨x]的乘积,但其方向与质点运动加速度的方向相反,即
阻尼力是由结构内摩擦及结构周围介质(如空气、水等)对结构运动的阻碍造成的。阻尼力的大小一般与结构的运动速度有关。按照黏滞阻尼理论,阻尼力与质点速度成正比,但方向与质点运动速度相反,即式中,c为阻尼系数。
弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力,由结构弹性变形产生。根据虎克(Hooke)定理,该力的大小与质点偏离平衡位置的位移成正比,但方向相反,即
式中,k为体系刚度,即使质点产生单位位移,需在质点上施加的力。
;根据达朗贝尔(D’Alembert)原理,质点在上述三个力的作用下处于平衡状态,即
将式(4-1)、式(4-2)和式(4-3)代入式(4-4),得
式(4-5)即为单自由度体系的运动方程,其为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于对方程的求解,将式(4-5)两边同除以m,得
令
则式(4-6)可写成
式中,ω为单自由度体系的无阻尼自振圆频率;ξ为阻尼比。
;式(4-9)相应的齐次方程为
方程(4-10)描述的是在没有外界激励的情况下结构体系的运动为自由振动。为解方程(4-10),按齐次常微分方程的求解方法,先求解相应的特征方程r2+2ωξr+ω2=0,其特征根为
则方程(4-10)的解有以下几种情况:
(1)若ξ1,r1,r2为负实数,则
(2)若ξ=1,r1=r2=-ξω,则
(3)若ξ1,r1,r2为共轭复数,则
;显然,当ξ1时,体系不产生振动,称为过阻尼状态;当ξ1时,体系产生振动,称为欠阻尼状态;当ξ=1时,介于上述两种状态之间,称为临界阻尼状态,此时体系也不产生振动(见图4-4)。
;由式(4-8)可知,与ξ=1相应的阻尼系数cr=2ωm,称为临界阻尼系数,因此ξ也可表达为
故称ξ为临界阻尼比,简称阻尼比。
一般工程结构均为欠阻尼情形,为确定式(4-13)中的待定系数,需考虑如下初始条件:x0=x(0),?x0=?x(0),其中x0,?x0分别为体系质点的初始位移和初始速度。由此可得
将式(4-15)代入式(4-13),得单自由度体系自由振动的位移时程为
;若无阻尼(ξ=0),则
由于cosωt和sinωt均为简谐函数,因此无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐周期振动,振动圆频率为ω,振动周期为
由于质量m和刚度k是结构固有的,因此无阻尼单自由度体系的自振频率或周期也是体系固有的,称为固有频率和固有周期。同样可知,ωD为有阻尼单自由度体系的自振频率。一般结构的阻尼比很小(ξ=0.01~0.1),由式(4-14)可知,ωD≈ω。
有阻尼单自由度体系自由振动