第九章概率
目录
TOC\o1-2\h\u知识梳理 1
考点精讲精练 2
考点一：随机事件与概率 2
考点二：事件的相互独立性 4
考点三：频率与概率 6
概率实战训练 8
1、概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.?
2、古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
5、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
6、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
7、相互独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
考点一：随机事件与概率
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（????）
A．三次均未中靶 B．只有两次中靶
C．只有一次中靶 D．三次都中靶
例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（????）
A． B． C． D．
例题3．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（????）
A． B． C． D．
例题4．（多选）（2023秋·福建·高二统考学业考试）袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（????）
A．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
例题5．（2023·天津·高二学业考试）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
真题演练
1．（2023春·天津南开·高一学业考试）口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为（????）．
A． B． C． D．
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）“敬骅号”列车一排共有A、B、C、D、F五个座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（????）
A． B． C． D．
3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为（????）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（????）
A． B． C． D．
5．（2023春·新疆·高二统考学业考试）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加社区志愿者活动，每人被选到的可能性相同．
(1)写出试验的样本空间；
(2)设M为事件“选出