东城区2024—2025学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准2025.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）D （3）A （4）B（5）B
（6）C （7）B （8）D （9）A（10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（?11?）（12）
（13）（答案不唯一）（14）12,140
（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，
由正弦定理得
又因为，
所以
因为，所以
因为，所以．………………7分
（Ⅱ）若选条件=1\*GB3①：因为，所以．
因为，所以.
所以．
此时，为钝角，符合题意．……13分
若选条件=3\*GB3③：因为△ABC的面积为，所以.
由（=1\*ROMANI）知，所以.
由余弦定理得，即.
所以.
因为为钝角，所以.
此时，为钝角，符合题意．…13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）取的中点，连接.
在中，因为分别为的中点，
所以且.
因为为的中点，底面为菱形，
所以且.
所以且.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为，，
所以平面.………………6分
（Ⅱ）连接,.
因为为正三角形，所以.
因为侧面与底面垂直，侧面底面,
平面，
所以底面.
所以.
由题知为正三角形，为的中点,所以.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则．
于是，，，，，，
.
所以,.
设是平面的法向量，
则即
令，则，.于是．
因为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.…………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，在200人中愿意购买第一款新品的人数为，
所以该名顾客愿意购买第一款新品的概率可估计为.………4分
（Ⅱ）由题设，的所有可能值为0，1，2，3.
根据题中数据，得
青少年组的人数为.
随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，
此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.
中年组的人数为.
随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，
此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.
老年组的人数为.
随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，
此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.
所以可估计为，
可估计为，
可估计为，
可估计为.
的分布列为：
0
1
2
3
所以.………10分
（Ⅲ）.………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）的定义域为，.
，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，．
由知，在区间上单调递减，
又，则存在唯一，使得．
当变化时，的情况如下：
↗
极大值
↘
由上表可知，的极值点个数为1.………………11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且时，.
若，则，符合题意；
若，则由知.
当，且时，，
因此，与题设矛盾.
综上，的取值范围为．………………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得解得，．
所以的方程为．………………5分
（Ⅱ）设，，，，.
则直线，.
由得.
所以，故．
由得.
所以，故．
因为为线段中点，所以，
故直线．
令，则，所以．
设直线与轴交于点，
因为，，，共线，所以.
解得．
所以.
因为，所以．
综上，点的横坐标为．………………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）=1\*GB3①4，3，2，1不具有性质；
=2\*GB3②1，2，3，5，4具有性质.………………4分
（Ⅱ）由已知.设，其中.
可得，
，
……
.
又，
得.
即.
因为，所以.
所以与的奇偶性相同.
因为,
所以为偶数.
又,所以.
又数列，此时..
综上,的最小值为.…9分
（Ⅲ）由已知，，且，
则.
数列具有性质，即.
所以.
记，
所以.
因为，
所以.
当时，,所以.
当时，数列，此时
，.
所以数列满足题意.……15分