第03讲等式与不等式的性质
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1：比较大小基本方法 4
知识点2：不等式的性质 5
解题方法总结 6
题型一：不等式性质的应用 6
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 8
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 11
题型四：不等式的综合问题 13
题型五：糖水不等式 15
04真题练习·命题洞见 18
05课本典例·高考素材 19
06易错分析·答题模板 21
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 21
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 21
考点要求
考题统计
考情分析
（1）掌握等式性质．
（2）会比较两个数的大小．
（3）理解不等式的性质，并能简单应用．
2022年II卷第12题，5分
高考对不等式的性质的考查相对较少，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
复习目标：
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识点1：比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，
取,则，无法得到，C错误，
由于，则，所以，
故选：D
知识点2：不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设，且，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，则，故A错误，
对于B，，则，故B错误，
对于C，由于，故在单调递减，故，因此，
由于，所以，故，C正确，
对于D,,则，故D错误，
故选：C
【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】∵，∴即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选