第06讲专题三次函数的图象和性质
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01方法技巧与总结 2
02题型归纳总结 4
题型一：三次函数的零点问题 4
题型二：三次函数的最值、极值问题 9
题型三：三次函数的单调性问题 12
题型四：三次函数的切线问题 14
题型五：三次函数的对称问题 16
题型六：三次函数的综合问题 19
题型七：三次函数恒成立问题 28
题型八：等极值线问题 32
03过关测试 36
1、基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1：=1\*GB3①定义域为．=2\*GB3②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．=3\*GB3③单调性和图像：
图像
性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1)若，则恰有一个实根；
(2)若,且，则恰有一个实根；
(3)若,且，则有两个不相等的实根；
(4)若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
题型一：三次函数的零点问题
【典例1-1】一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
【典例1-2】已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
【变式1-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一定有两零点与，所以只需或共有四个根即可．结合有两个零点，所以必有或．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.由，则得或
三次函数有两个零点，且程有四个实数根，
所以只需或共有四个根即可，
所以或.
又方程有四个实数根，则或共有四个根.
在,上单调递增，在单调递减.
当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则，即，解得.
当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则，即，解得.
综上所述，当时，方程有四个实数根.
故选：C
【变式1-2】已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是.
【答案】
【解析】由题设，其图象如下，
当，与只有一个交点且；
当，与有两个交点且或；
当，与有三个交点且；
当，与有两个交点且；
由题图，要使，有9个零点，则，，且有，
根据解析式：，
综上，，可得，故.
故答案为：
【变式1-3】已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.
（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；
（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】（1）,
由题得,且,
即解得,.
于是,即,
故切线方程为.
因为切点在切线上,所以,
将代入,解得,
.
.
由题得有两个不相等的实根,
,
解得.
（2）由题得在上有两个不同的解,
即在上有两个不同的解.
令,,
则,
由得或,
由得,
因为,所以在上单调递