数列基础知识点
一、数列的定义
数列是按照一定次序排列的一列数。例如，1，3，5，7，9就是一个数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推。
二、数列的分类
1.按项数分类
-有穷数列：项数有限的数列。例如数列1，2，3，4，5，它的项数是5，是有穷数列。
-无穷数列：项数无限的数列。如数列1，2，3，4，…，项数是无穷的，是无穷数列。
2.按数列的增减性分类
-递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。例如，2，4，6，8，…是递增数列。
-递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。如9，7，5，3，…是递减数列。
-常数列：各项都相等的数列。例如，3，3，3，3，…是常数列。
-摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。例如，1，-1，1，-1，…是摆动数列。
三、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。例如，数列1，3，5，7，…的通项公式为an=2n-1（n∈N）。通项公式的作用在于可以通过它来求出数列中的任意一项。
1.求通项公式的方法
-观察法：对于一些简单的数列，可以通过观察数列的前几项的规律来写出通项公式。例如，数列2，4，6，8，…，通过观察可以发现其通项公式为an=2n。
-利用递推公式求通项公式：如果已知数列的递推公式，有时可以通过一定的方法求出通项公式。例如，已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+2（n≥2），这是一个递推公式，通过累加法可以求出an=2n-1。
四、数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。如上面提到的an=an-1+2（n≥2）就是一个递推公式。
1.常见的递推公式类型及求解方法
-类型一：an=pan-1+q（p≠1，p，q为常数）
-可以通过构造等比数列来求解。设an+x=p(an-1+x)，求出x的值，将原递推公式转化为等比数列的形式，进而求出通项公式。
-类型二：an=an-1+f(n)
-一般采用累加法求解。即an-an-1=f(n)，a2-a1=f(2)，a3-a2=f(3)，…，an-an-1=f(n)，将这些式子累加可得an-a1=f(2)+f(3)+…+f(n)，从而求出an。
五、数列的前n项和
1.定义
-数列{an}的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an。
2.Sn与an的关系
-当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1。这个关系在求数列的通项公式时经常用到。例如，已知数列{an}的前n项和Sn=n2，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，当n=1时也满足此式，所以an=2n-1。
六、等差数列
1.定义
-如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。例如，数列3，5，7，9，…是等差数列，公差d=2。
2.等差数列的通项公式
-an=a1+(n-1)d。其中a1为首项，n为项数，d为公差。
3.等差数列的前n项和公式
-Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2。
4.等差数列的性质
-若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。例如，在等差数列{an}中，若m=1，n=3，p=2，q=2，a1+a3=a2+a2。
七、等比数列
1.定义
-如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。例如，数列2，4，8，16，…是等比数列，公比q=2。
2.等比数列的通项公式
-an=a1q^(n-1)。其中a1为首项，n为项数，q为公比。
3.等比数列的前n项和公式
-当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
4.等比数列的性质