故得体积元为▲对于广义球坐标应决定于椭球面方程：即是从原点积分到椭球面上，第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日可见r=1所以，对于r积分区域：r:0→1.即是说，这个变换是把半轴为a,b,c的椭球变为单位球，于是积分区间为该电荷系统电偶极矩各分量为第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日故，这说明均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零。▲对于电四极矩，由于第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日从而有其中第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日故第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日同理：第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日另外：第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日至此，根据电势的表达式，即有当a=b时，是回转椭球，▲第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日故由上可知，引入的新电四极矩定义它反映了电荷分布与球对称的偏离程度。若表示球体被挤压——长椭球表示球体被拉长——扁椭球结论：可以用来推算原子核的结构情况，所以说电四极矩是分析物质结构的重要物理量。若又因为x2+y2=R2-z2▲当a=b=c时，是均匀带电球体，此时第40页，共64页，星期日，2025年，2月5日第41页，共64页，星期日，2025年，2月5日第42页，共64页，星期日，2025年，2月5日第43页，共64页，星期日，2025年，2月5日第44页，共64页，星期日，2025年，2月5日第45页，共64页，星期日，2025年，2月5日第1页，共64页，星期日，2025年，2月5日第2页，共64页，星期日，2025年，2月5日xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-Q以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于（a,o,o）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于xyzoQ零级近似第3页，共64页，星期日，2025年，2月5日如果作为一级近似，且o=+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qo+xyz-Q-QQ+Q第4页，共64页，星期日，2025年，2月5日如果作二级近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一级近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q第5页，共64页，星期日，2025年，2月5日二级近似xyzoxyzo+-QQQa/2Qxyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQ+Q-Q第6页，共64页，星期日，2025年，2月5日总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+第7页，共64页，星期日，2025年，2月5日2、点电荷系的多极展开式假定V内都是点电荷分布，其中第k个点电荷qk位于点A处，如图所示。符合Rl的条件，P点的电势为其中l··zxPyAqjqkqlo··第8页，共64页，星期日，2025年，2月5日因为展开令，则相对于原点，有第9页，共64页，星期日，2025年，2月5日其中表示电荷处在点o对远处产生的电势；第10页，共64页，星期日，2025年，2月5日上面各个包含cosθ的因式就是勒让德多项式Pn(cosθ)。实际上，通过这个多极子的展开式，P点的电势可写为表示在点o处的电偶极矩的电势；表示在点o处的电四极矩的电势。第11页，共64页，星期日，2025年，2月5日若区域V内电荷是连续分布的，且电势为zxPyVoρ考虑源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故可将对在原点附近作泰勒级数展开。3、连续分布电荷体系的多极子展开式第12页，共64页，星期日，2025年，2月5日在一元函数f(x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒级数为：如果在