基本信息
文件名称:有限体积法基本原理 课件 chap09_2D非稳态输运方程及有限体积法.pptx
文件大小:10.58 MB
总页数:29 页
更新时间:2025-06-30
总字数:约3千字
文档摘要

有限体积法基本原理

9.1非稳态控制方程在实际中,非稳态问题通常无法通过单独求解连续性方程、动量方程或者能量方程解决,大多数时候需要联立这些方程构成能够描述指定问题的、复杂方程组,随后通过各个参数之间的耦合计算得到最终期望的结果。常见不可压缩流体非稳态输运过程中,主要求解的方程有连续性方程、动量方程。?

9.2控制方程离散——动量方程离散前述章节中介绍了稳态方程离散方法,对于非稳态方程而言其离散方法与前述方程离散过程相同,区别在于增加了非稳态项离散。采用有限体积法对动量方程离散,首先对方程在控制体积上进行积分,包括空间积分和时间积分:?

9.2控制方程离散——动量方程离散(非稳态与对流项)对于非稳态项进行离散,可以采用Euler隐式格式进行离散,即:?对于对流项,由高斯散度定理可以得到:其中,????=??·U??为面??上的对流通量,为一标量。对于2D情况有:

9.2控制方程离散——动量方程离散(非稳态与对流项)?将上式代入前式中,可以得到:

9.2控制方程离散——动量方程离散(扩散项)?上式中面上梯度项?U的方向从单元体心??指向临近网格单元??,即该矢量的方向和网格??与网格??体心连线共线,如果体心连线和面法向矢量不垂直,则需要引入非正交修正,这里网格为正规网格,无需此步骤。对于r面,单位面矢量(1,0):

9.2控制方程离散——动量方程离散(扩散项)对于l面,单位面矢量(-1,0):对于t面,单位面矢量(0,1):对于b面,单位面矢量(0,-1):所以可以得到扩散项的离散结果为:

9.2控制方程离散——动量方程离散(压力项及小结)对压力项采用散度定理可以得到:对各微分项采用中心差分法进行离散,得到:将上述各项进行整理,采用如前所述非结构化网格求和描述方法,可以得到动量方程的离散形式为:

9.2控制方程离散——动量方程离散(小结)如果采用正规网格,对流项、扩散项、压力项均采用中心差分形式,将前述所得代入上式可以得到:可以看出,所得系数在??时刻均为已知,进一步展开可以得到:

9.2控制方程离散——压力修正法(连续性方程离散)前面推导得到了速度的离散格式,但是在实际计算中,速度与压力之间是耦合的,仅靠动量方程无法求解压力项,由此需要用到连续方程计算压力。其基本思想是:首先根据给定的速度场(或者由前述推导得到的离散方程计算得到的速度场)修正压力,使压力满足连续性方程。在此过程中能够得到压力的修正值??’,通常的做法有两种:1)直接求解??’的方程;2)求解压力的泊松方程。OpenFOAM采用第二种方法。对连续性方程进行积分,随后运用散度定理可以得到:如果方程收敛,则有如下离散格式成立:

9.2控制方程离散——压力修正法(连续性方程离散)将上式进行整理,变换,可以得到:将上式代入连续性方程中:由高斯定理,将上式逆向推导,得到压力p的泊松方程:注意:方程两端都为未知量,无法进行求解。由于引入了一个新的场量????????,CFD将一个物理问题转化为了代数方程组的求解问题,而????????包含了新计算出的速度,因此会变。

9.2控制方程离散——压力修正法(压力修正方程)?但在该式中包含前一步压力,因此,该离散格式存在滞后性,实际收敛后速度应该满足下式:??

9.2控制方程离散——压力修正法(压力修正方程)将前式做如下变换:?上式中左侧已知,右侧未知,能够求解,在得到压力后,代入式压力的泊松方程可以得到速度的修正值,最终得到速度的迭代值。

9.2控制方程离散——压力修正法(压力泊松方程)如前所述压力泊松方程为:对于左端HbyA项:由此????????定义式先计算出????????|??和????????|??,再计算面上的值,再得到压力泊松方程左端项:

9.2控制方程离散——压力修正法(压力泊松方程)如前所述压力泊松方程为:?得到压力的更新方程:

9.2控制方程离散——压力修正法(压力泊松方程)?2)由于边界的通量?????和?????????????是固定的,所以不需要插值。这里由原本的连续性方程得到边界的????????和????,然后将其代入压力泊松方程中,可以得到边界的压力值。如对左上角网格而言,假设有:U??=(0,0),U??=(1,0),则可以的得到:

9.2控制方程离散——边界单元离散(左边界不含角点)

9.2控制方程离散——边界单元离散(右边界不含角点)

9.2控制方程离散——边界单元离散(上边界不含角点)

9.2控制方程离散——边界单元离散(下边界不含角点)

9.2控制方程离散——边界单元离散(左上角Dirichlet)