有限体积法基本原理

9.1非稳态控制方程在实际中，非稳态问题通常无法通过单独求解连续性方程、动量方程或者能量方程解决，大多数时候需要联立这些方程构成能够描述指定问题的、复杂方程组，随后通过各个参数之间的耦合计算得到最终期望的结果。常见不可压缩流体非稳态输运过程中，主要求解的方程有连续性方程、动量方程。?

9.2控制方程离散——动量方程离散前述章节中介绍了稳态方程离散方法，对于非稳态方程而言其离散方法与前述方程离散过程相同，区别在于增加了非稳态项离散。采用有限体积法对动量方程离散，首先对方程在控制体积上进行积分，包括空间积分和时间积分：?

9.2控制方程离散——动量方程离散（非稳态与对流项）对于非稳态项进行离散，可以采用Euler隐式格式进行离散，即：?对于对流项，由高斯散度定理可以得到：其中，????=??·U??为面??上的对流通量，为一标量。对于2D情况有：

9.2控制方程离散——动量方程离散（非稳态与对流项）?将上式代入前式中，可以得到：

9.2控制方程离散——动量方程离散（扩散项）?上式中面上梯度项?U的方向从单元体心??指向临近网格单元??，即该矢量的方向和网格??与网格??体心连线共线，如果体心连线和面法向矢量不垂直，则需要引入非正交修正，这里网格为正规网格，无需此步骤。对于r面，单位面矢量(1,0):

9.2控制方程离散——动量方程离散（扩散项）对于l面，单位面矢量(-1,0):对于t面，单位面矢量(0,1):对于b面，单位面矢量(0,-1):所以可以得到扩散项的离散结果为：

9.2控制方程离散——动量方程离散（压力项及小结）对压力项采用散度定理可以得到：对各微分项采用中心差分法进行离散，得到：将上述各项进行整理，采用如前所述非结构化网格求和描述方法，可以得到动量方程的离散形式为：

9.2控制方程离散——动量方程离散（小结）如果采用正规网格，对流项、扩散项、压力项均采用中心差分形式，将前述所得代入上式可以得到：可以看出，所得系数在??时刻均为已知，进一步展开可以得到：

9.2控制方程离散——压力修正法（连续性方程离散）前面推导得到了速度的离散格式，但是在实际计算中，速度与压力之间是耦合的，仅靠动量方程无法求解压力项，由此需要用到连续方程计算压力。其基本思想是：首先根据给定的速度场（或者由前述推导得到的离散方程计算得到的速度场）修正压力，使压力满足连续性方程。在此过程中能够得到压力的修正值??’，通常的做法有两种：1）直接求解??’的方程；2）求解压力的泊松方程。OpenFOAM采用第二种方法。对连续性方程进行积分，随后运用散度定理可以得到：如果方程收敛，则有如下离散格式成立：

9.2控制方程离散——压力修正法（连续性方程离散）将上式进行整理，变换，可以得到：将上式代入连续性方程中：由高斯定理，将上式逆向推导，得到压力p的泊松方程：注意：方程两端都为未知量，无法进行求解。由于引入了一个新的场量????????，CFD将一个物理问题转化为了代数方程组的求解问题，而????????包含了新计算出的速度，因此会变。

9.2控制方程离散——压力修正法（压力修正方程）?但在该式中包含前一步压力，因此，该离散格式存在滞后性，实际收敛后速度应该满足下式：??

9.2控制方程离散——压力修正法（压力修正方程）将前式做如下变换：?上式中左侧已知，右侧未知，能够求解，在得到压力后，代入式压力的泊松方程可以得到速度的修正值，最终得到速度的迭代值。

9.2控制方程离散——压力修正法（压力泊松方程）如前所述压力泊松方程为：对于左端HbyA项：由此????????定义式先计算出????????|??和????????|??，再计算面上的值，再得到压力泊松方程左端项：

9.2控制方程离散——压力修正法（压力泊松方程）如前所述压力泊松方程为：?得到压力的更新方程：

9.2控制方程离散——压力修正法（压力泊松方程）?2）由于边界的通量?????和?????????????是固定的，所以不需要插值。这里由原本的连续性方程得到边界的????????和????，然后将其代入压力泊松方程中，可以得到边界的压力值。如对左上角网格而言，假设有：U??=(0,0)，U??=(1,0)，则可以的得到：

9.2控制方程离散——边界单元离散（左边界不含角点）

9.2控制方程离散——边界单元离散（右边界不含角点）

9.2控制方程离散——边界单元离散（上边界不含角点）

9.2控制方程离散——边界单元离散（下边界不含角点）

9.2控制方程离散——边界单元离散（左上角Dirichlet）