常微分方程; 6.1微分方程的基本概念
1.引例
例6-1一曲线通过点(1,3),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于该点处横坐标x的平方的3倍，
求该曲线方程.
解设所求曲线方程为y=y(x),根据导数的几何意义可知,未知函数y=y(x)应满足的关系式为;对式①两边积分得;例6-2设火车提速后，以40m/s(相当于144km/h)的速度在平直的轨道上行驶(假设不计空气阻力和摩擦力)，当其制动(刹车)时,获得加速度-0.8m/s2.问开始制动后多少时间火车才能停住？在这段时间内火车行驶了多少路程？
解设火车开始制动时t=0,制动后经过t(s)行驶了s(m).根据题意，制动阶段火车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式;对式⑤两边积分，得;在式⑨中，令v=0,得到火车从开始制动到完全停住所需的时间：;;2)微分方程的阶数
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数.如果一个微分方程阶数是n,我们就称这个微分方程是n阶微分方程.例如，在微分方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为一阶，则称微分方程为一阶微分方程.显然y″+y′-2y=0是二阶微分方程.;3)微分方程的解和解微分方程
我们称使微分方程左、右端相等的已知函数为微分方程的解.例如，已知函数y=x2+C就是微分方程y′=2x的解,因为y=x2+C这个已知函数能使微分方程y′=2x左、右端相等.
将y=x2+C代入微分方程的左端，则左端=(x2+C)′=2x,
而微分方程的右端=2x,故y=x2+C这个已知函数就是微分方程y′=2x的解.求微分方程解的过程，我们称为解微分方程.;4)微分方程的通解和特解
含有任意常数C的微分方程的解叫做微分方程的通解.例如，y=x2+C就是微分方程y′=2x的通解.高阶微分方程的通解中常常含有多个任意常数，一般来说，n阶微分方程，其通解中就含有n个任意常数C.例如，y′=2x是一阶微分方程，故它的通解y=x2+C仅含有一个任意常数C；而y″+y′-2y=0是二阶微分方程，故它的通解y=C1ex+C2e-2x就含有两个任意常数C1和C2.
在给定的微分方程或从实际生产和科学实验中列出的微分方程中，常常事先已知一个或几个微分方程中未知函数某时刻的函数值，则未知函数的函数值叫做微分方程的附加条件.例如，已知微分方程y′sinx=ylny,且,这里就叫做微分方程y′sinx=ylny的附加条件.;我们称满足附加条件或初始条件的微分方程的解为微分方程的特解.以后我们将具体介绍.
从例6-1和例6-2不难看出，对于形如
y(n)=f(x)
的微分方程，只要通过逐次积分(n次)，便可得到它的通解.;; 6.2一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为;的方程称为可分离变量的微分方程.其特点是方程的右端为只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积,这里f(x)、g(y)分别是变量x、y的已知连续函数，且g(y)≠0.
这类方程的特点是经过适当的变形，可以将两个不同变量的函数与相应微分分离到方程的两端.具体解法如下：
(1)将方程式(6-1)分离变量，得;(2)两边同时积分，得;例6-5解微分方程y′=xy.
解将方程改写为;例6-6求方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.
解用(x2-1)(y2-1)除方程两端，得;例6-7已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律.
解设这种放射性元素的衰变规律是Q=Q(t).依题意，有;即;6.2.2一阶线性微分方程
形如;;例6-8求微分方程y′+ysinx=0的通解.
解所给微分方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx,因;例6-9求方程(x2y-2xy)dx+xdy=0满足初始条件
y|x=0=1的特解.
解将所求方程化为如下形式;化简，得;2.一阶线性非齐次微分方程的解法
设方程式(6-2)是非齐次方程，为了求出非齐次线性方程式(6-2)的解，先把Q(x)换成零，得;求导得;式(6-8)右端第一项是对应的齐次