高中导数知识点总结
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目录
导数基本概念与定义
导数计算方法与技巧
导数在图形上应用
导数在实际问题中应用
高阶导数及相关概念
微分概念及运算规则
01
导数基本概念与定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数值的增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于0时的极限。
导数定义
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
几何意义
导数定义及几何意义
函数在某一点的左侧导数表示从该点左侧趋近时函数的变化率。
左侧导数
右侧导数
关系
函数在某一点的右侧导数表示从该点右侧趋近时函数的变化率。
如果函数在某一点左侧导数和右侧导数都存在且相等，则称函数在该点可导。
03
02
01
左侧导数与右侧导数
若函数在某一点可导，则该函数在该点附近具有确定的变化率。
可导性
可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导。例如，绝对值函数在原点处连续但不可导。
连续性
可导性是连续性的充分条件，但不是必要条件。
关系
导数符号及记法
导数符号
通常使用f(x)或df/dx表示函数f(x)的导数。
高阶导数
对于多次可导的函数，可以使用f(x)、f(x)等表示二阶、三阶导数，或者使用d^2f/dx^2、d^3f/dx^3等表示。
偏导数
对于多元函数，可以使用偏导数表示函数对某一自变量的偏导数，记作?f/?x、?f/?y等。
02
导数计算方法与技巧
三角函数
如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)
对数函数
y=loga(x)（a0，a≠1），则y=1/(x*lna)
指数函数
y=a^x（a0，a≠1），则y=a^x*lna
常数函数
y=c（c为常数），则y=0
幂函数
y=x^n（n为实数），则y=nx^(n-1)
基本初等函数导数公式
链式法则
若y=f(u)和u=g(x)均可导，且u=g(x)的值域包含于y=f(u)的定义域内，则复合函数y=f[g(x)]的导数为：dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
反函数求导法则
若函数y=f(x)在某区间内可导且f(x)≠0，则其反函数x=g(y)在对应区间内也可导，且有：dx/dy=1/(dy/dx)
将隐函数方程两边同时对x求导，注意y是x的函数，需对含y的项应用链式法则
对于一些特殊的隐函数，如由参数方程确定的隐函数，可以直接套用公式进行求导
隐函数求导方法
公式法
直接法
参数方程确定的函数求导方法
若函数y=f(x)由参数方程x=φ(t)和y=ψ(t)确定，且φ(t)和ψ(t)都可导，φ(t)≠0，则dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ(t)/φ(t)
极坐标方程确定的函数求导方法
若函数r=r(θ)在极坐标系下表示，则其对应的直角坐标方程为x=r(θ)cosθ和y=r(θ)sinθ，通过这两个方程可以求出dy/dx的表达式
参数方程确定函数求导
03
导数在图形上应用
对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的切线斜率等于该点的导数值$f(x_0)$。切线斜率反映了函数在该点附近的变化趋势。
切线斜率
法线与切线垂直，因此法线斜率为切线斜率的负倒数。对于函数$f(x)$在点$x_0$处的法线斜率，可以计算为$-1/f(x_0)$（当$f(x_0)neq0$时）。
法线斜率
若函数$f(x)$在某区间内导数$f(x)0$，则函数在该区间内单调递增；若$f(x)0$，则函数在该区间内单调递减。
单调性判断
函数$f(x)$在$x_0$处取得极值的必要条件是$f(x_0)=0$或$f(x_0)$不存在。进一步，若$f(x_0)0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值；若$f(x_0)0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值。
极值求解
函数单调性判断及极值求解
曲线凹凸性判断及拐点求解
凹凸性判断
若函数$f(x)$在某区间内二阶导数$f(x)0$，则函数在该区间内为凹函数；若$f(x)0$，则函数在该区间内为凸函数。
拐点求解
拐点是函数凹凸性发生改变的点。函数$f(x)$在$x_0$处为拐点的必要条件是$f(x_0)=0$或$f(x_0)$不存在。进一步，需要考察$f(x_0)$的值或$f(x)$在$x_0$两侧的符号来确定是否为拐点。
水平渐近线
若$lim_{xtoinfty}f(x)=a$或$lim_{xto-infty}f(x)=a$，则直线$y=a$为函数$f(x)$的水平渐近线。
垂直渐近线
若$lim_{xtox_0^-}f(x)=infty$或$lim_{xtox_0^+}f(x)=infty$，则直线$x=