则(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)**第31页，共66页，星期日，2025年，2月5日推论：对于一般的随机过程X(t)，有：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：**第32页，共66页，星期日，2025年，2月5日3．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。**第33页，共66页，星期日，2025年，2月5日例：平稳随机过程的自相关函数为，A0，，求过程的功率谱密度。解：应将积分按＋和－分成两部分进行**第34页，共66页，星期日，2025年，2月5日例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。**第35页，共66页，星期日，2025年，2月5日解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。**第36页，共66页，星期日，2025年，2月5日例：设随机过程，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。解：**第37页，共66页，星期日，2025年，2月5日四平稳随机过程功率谱密度的性质一功率谱密度的性质1功率谱密度为非负的,即证明：2功率谱密度是的实函数**第38页，共66页，星期日，2025年，2月5日3对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又**第39页，共66页，星期日，2025年，2月5日4功率谱密度可积，即证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方值有限**第40页，共66页，星期日，2025年，2月5日二谱分解定理1谱分解在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即**第41页，共66页，星期日，2025年，2月5日（1）为实数。(2)分母不能进行因式分解，分母不能有实根。（3）M＜N。**第42页，共66页，星期日，2025年，2月5日2.2联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：**第43页，共66页，星期日，2025年，2月5日因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:**第44页，共66页，星期日，2025年，2月5日注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：**第45页，共66页，星期日，2025年，2月5日定义互功率谱密度为：则**第46页，共66页，星期日，2025年，2月5日同理，有：且**第47页，共66页，星期日，2025年，2月5日第二部分相关分析功率谱白噪声第1页，共66页，星期日，2025年，2月5日3.周期过程，则非周期过程4.:整个相关成分:总功率:交流相关成分:交流功率:直流功率**第2页，共66页，星期日，2025年，2月5日**第3页，共66页，星期日，2025年，2月5日例:求和解:**第4页，共66页，星期日，2025年，2月5